x এর সাপেক্ষে sin⁡4(cot⁡−11+x1−x)\sin^4 \left(\cot^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right) এর অন্তরজ নির্ণয় কর।

Question

Accepted Answer

ক. −12(1−x)-\frac{1}{2}(1-x)

ব্যাখ্যা: ধরি, $y = \sin^4 \left(\cot^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}ight)$।
এখন, $x = \cos 	heta$ বসালে,
$\frac{1+x}{1-x} = \frac{1+\cos	heta}{1-\cos	heta} = \frac{2\cos^2(	heta/2)}{2\sin^2(	heta/2)} = \cot^2(	heta/2)$
$\implies \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} = \cot(	heta/2)$

অতএব, $\cot^{-1}\left(\cot(	heta/2)ight) = \frac{	heta}{2}$।
তাহলে,
$y = \sin^4(	heta/2) = [\sin^2(	heta/2)]^2 = \left(\frac{1-\cos	heta}{2}ight)^2 = \left(\frac{1-x}{2}ight)^2 = \frac{1}{4}(1-x)^2$।

$x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4} \cdot 2(1-x) \cdot (-1) = -\frac{1}{2}(1-x)$।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন