উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০২৩

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১: f(x)=1(4+x2)32 f(x) = \frac{1}{(4 + x^2)^{\frac{3}{2}}}
দৃশ্যকল্প-২: x2+y2=64 x^2 + y^2 = 64
y=5 y = 5

  1. ক)

    ∫sin⁡9xsin⁡11x dx \int \sin 9x \sin 11x , dx নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ ব্যবহার করে ∫04f(x) dx \int_{0}^{4} f(x) , dx নির্ণয় কর।

    (4)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ এর বৃত্ত ও সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    I=∫sin⁡9xsin⁡11x dx=12∫2sin⁡11xsin⁡9x dxI = \int \sin 9x \sin 11x \, dx = \frac{1}{2} \int 2\sin 11x \sin 9x \, dx
    আমরা জানি, 2sin⁡Asin⁡B=cos⁡(A−B)−cos⁡(A+B)2\sin A \sin B = \cos(A - B) - \cos(A + B)
    =12∫[cos⁡(11x−9x)−cos⁡(11x+9x)] dx= \frac{1}{2} \int [\cos(11x - 9x) - \cos(11x + 9x)] \, dx
    =12∫(cos⁡2x−cos⁡20x) dx= \frac{1}{2} \int (\cos 2x - \cos 20x) \, dx
    =12[sin⁡2x2−sin⁡20x20]+C= \frac{1}{2} \left[ \frac{\sin 2x}{2} - \frac{\sin 20x}{20} \right] + C
    =sin⁡2x4−sin⁡20x40+C= \frac{\sin 2x}{4} - \frac{\sin 20x}{40} + C
    (যেখানে CC একটি সমাকলন ধ্রুবক)।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, f(x)=1(4+x2)3/2f(x) = \frac{1}{(4 + x^2)^{3/2}}
    নির্ণেয় যোগজ, I=∫04dx(4+x2)3/2I = \int_{0}^{4} \frac{dx}{(4 + x^2)^{3/2}}
    ধরি, x=2tan⁡θ  ⟹  dx=2sec⁡2θ dθx = 2\tan \theta \implies dx = 2\sec^2 \theta \, d\theta
    সীমা পরিবর্তন:
    যখন x=0x = 0, তখন tan⁡θ=0  ⟹  θ=0\tan \theta = 0 \implies \theta = 0
    যখন x=4x = 4, তখন tan⁡θ=2  ⟹  θ=tan⁡−1(2)\tan \theta = 2 \implies \theta = \tan^{-1}(2)

    এখন,
    4+x2=4+4tan⁡2θ=4(1+tan⁡2θ)=4sec⁡2θ4 + x^2 = 4 + 4\tan^2 \theta = 4(1 + \tan^2 \theta) = 4\sec^2 \theta
    সুতরাং, (4+x2)3/2=(4sec⁡2θ)3/2=8sec⁡3θ(4 + x^2)^{3/2} = (4\sec^2 \theta)^{3/2} = 8\sec^3 \theta

    অতএব,
    I=∫0tan⁡−1(2)2sec⁡2θ8sec⁡3θ dθ=14∫0tan⁡−1(2)1sec⁡θ dθ=14∫0tan⁡−1(2)cos⁡θ dθI = \int_{0}^{\tan^{-1}(2)} \frac{2\sec^2 \theta}{8\sec^3 \theta} \, d\theta = \frac{1}{4} \int_{0}^{\tan^{-1}(2)} \frac{1}{\sec \theta} \, d\theta = \frac{1}{4} \int_{0}^{\tan^{-1}(2)} \cos \theta \, d\theta
    =14[sin⁡θ]0tan⁡−1(2)= \frac{1}{4} [\sin \theta]_{0}^{\tan^{-1}(2)}
    যেহেতু tan⁡θ=2\tan \theta = 2, সেহেতু একটি সমকোণী ত্রিভুজ হতে পাই, লম্ব =2= 2, ভূমি =1= 1, অতিভুজ =22+12=5= \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}
    অতএব, sin⁡θ=25\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}

    সুতরাং,
    I=14(25−0)=125=510I = \frac{1}{4} \left( \frac{2}{\sqrt{5}} - 0 \right) = \frac{1}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{10}
    নির্ণেয় মান: 125\frac{1}{2\sqrt{5}} বা 510\frac{\sqrt{5}}{10}।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-২ এর বৃত্তের সমীকরণ: x2+y2=64=82x^2 + y^2 = 64 = 8^2
    সরলরেখার সমীকরণ: y=5y = 5
    ছেদবিন্দুদ্বয়ের জন্য, x2+52=64  ⟹  x2=64−25=39  ⟹  x=±39x^2 + 5^2 = 64 \implies x^2 = 64 - 25 = 39 \implies x = \pm \sqrt{39}

    বৃত্ত ও y=5y = 5 সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল হলো:
    A=∫−3939(yবৃত্ত−yরেখা) dx=2∫039(64−x2−5) dxA = \int_{-\sqrt{39}}^{\sqrt{39}} (y_{\text{বৃত্ত}} - y_{\text{রেখা}}) \, dx = 2 \int_{0}^{\sqrt{39}} (\sqrt{64 - x^2} - 5) \, dx
    =2[x264−x2+642sin⁡−1(x8)−5x]039= 2 \left[ \frac{x}{2}\sqrt{64 - x^2} + \frac{64}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{8}\right) - 5x \right]_{0}^{\sqrt{39}}
    =2[39264−39+32sin⁡−1(398)−539]= 2 \left[ \frac{\sqrt{39}}{2}\sqrt{64 - 39} + 32\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{39}}{8}\right) - 5\sqrt{39} \right]
    =2[5392+32sin⁡−1(398)−539]= 2 \left[ \frac{5\sqrt{39}}{2} + 32\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{39}}{8}\right) - 5\sqrt{39} \right]
    =2[32sin⁡−1(398)−5392]= 2 \left[ 32\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{39}}{8}\right) - \frac{5\sqrt{39}}{2} \right]
    =64sin⁡−1(398)−539 বর্গ একক= 64\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{39}}{8}\right) - 5\sqrt{39} \text{ বর্গ একক}
    (মান প্রায় 64×0.8932−31.225=57.165−31.225≈25.9464 \times 0.8932 - 31.225 = 57.165 - 31.225 \approx 25.94 বর্গ একক)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন