গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি,
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 e^{2 x}-2 e^{-5 x}+a x}{x^{2}}$

এখানে $x \to 0$ হলে লব $2(1) - 2(1) + 0 = 0$ এবং হর $0$ হয়। এটি $\frac{0}{0}$ আকারের।

লা হসপিটালের (L'Hôpital's) নিয়ম প্রয়োগ করে পাই:
$L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(2e^{2x}-2e^{-5x}+ax)}{\frac{d}{dx}(x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{4e^{2x} + 10e^{-5x} + a}{2x}$

এখন, লিমিটটির সসীম মান বা অস্তিত্ব থাকতে হলে হর শূন্যের দিকে ধাবিত হওয়ায় লবকেও শূন্যের দিকে ধাবিত হতে হবে।
সুতরাং,
$\lim_{x \to 0} (4e^{2x} + 10e^{-5x} + a) = 0$
$\implies 4(1) + 10(1) + a = 0$
$\implies 14 + a = 0$
$\implies a = -14$

অতএব, $a = -14$ এর জন্য সীমার মান:
$L = \lim_{x \to 0} \frac{4e^{2x} + 10e^{-5x} - 14}{2x}$

যেহেতু এটি আবার $\frac{0}{0}$ আকার, পুনরায় লা হসপিটালের নিয়ম প্রয়োগ করে:
$L = \lim_{x \to 0} \frac{8e^{2x} - 50e^{-5x}}{2} = \frac{8(1) - 50(1)}{2} = \frac{-42}{2} = -21$

উত্তর: $a = -14$ এবং সীমার মান $-21$।