গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে $AB$ ব্যাস এবং $C$ অর্ধবৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু। প্রমাণ করতে হবে, $\angle ACB = 90^\circ$।

   অঙ্কন: $OC$ যোগ করি।

   প্রমাণ: $OA = OB = OC$ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)।
   $\triangle OAC$ এ $OA = OC$, তাই $\angle OAC = \angle OCA$।
   $\triangle OBC$ এ $OB = OC$, তাই $\angle OBC = \angle OCB$।

   $\triangle ABC$ এর তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$:
   $\angle OAC + \angle OBC + \angle ACB = 180^\circ$
   $\Rightarrow \angle OCA + \angle OCB + \angle ACB = 180^\circ$
   $\Rightarrow 2\angle ACB = 180^\circ$ ($\angle OCA + \angle OCB = \angle ACB$)
   $\Rightarrow \angle ACB = 90^\circ$ (প্রমাণিত)

2. খ)

   ধরি $ABCD$ ট্রাপিজিয়ামে $AB \parallel DC$, $AB = 6$ সে.মি., $DC = 4$ সে.মি., $\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 45^\circ$।

   অঙ্কনের বিবরণ:
   ১. $AB = 6$ সে.মি. আঁকি। $AB$ এর উপর $E$ বিন্দু নিই যেন $EB = AB - DC = 2$ সে.মি. হয়।
   ২. $E$ বিন্দুতে $\angle BEX = 60^\circ$ এবং $B$ বিন্দুতে $\angle EBY = 45^\circ$ আঁকি (একই পাশে)। $EX$ ও $BY$ রশ্মি $C$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   ৩. $C$ দিয়ে $AB$ এর সমান্তরাল রেখা আঁকি এবং তাতে $A$ এর দিকে $CD = 4$ সে.মি. কাটি।
   ৪. $AD$ যোগ করি।

   $ABCD$ ই নির্ণেয় ট্রাপিজিয়াম। যুক্তি: $AE = 4 = DC$ এবং $AE \parallel DC$ বলে $AECD$ সামান্তরিক, তাই $AD \parallel EC$ এবং $\angle DAB = \angle CEB = 60^\circ$।

3. গ)

   ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন কোণ $\angle B = 60^\circ$, $\angle C = 45^\circ$ এবং উচ্চতা 7 সে.মি.।

   অঙ্কনের বিবরণ:
   ১. একটি সরলরেখা $XY$ আঁকি। এর উপর যেকোনো বিন্দু $D$ নিয়ে $D$ বিন্দুতে লম্ব $DA = 7$ সে.মি. আঁকি।
   ২. $A$ বিন্দুতে $AD$ এর এক পাশে $\angle DAB = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ এবং অপর পাশে $\angle DAC = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$ আঁকি। রশ্মি দুটি $XY$ কে যথাক্রমে $B$ ও $C$ বিন্দুতে ছেদ করে।

   $\triangle ABC$ ই নির্ণেয় ত্রিভুজ। কারণ $\triangle ABD$ এ $\angle B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ এবং $\triangle ACD$ এ $\angle C = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$; উচ্চতা $AD = 7$ সে.মি.।