উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, $P$ ও $\sqrt{3}P$ বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$।
   যেহেতু বল তিনটি সাম্যাবস্থায় রয়েছে, তাই প্রথম দুইটি বলের লব্ধি তৃতীয় বলের সমান ও বিপরীতমুখী হবে।
   অতএব, লব্ধির মান $R = P$।

   আমরা জানি,
   $R^2 = P^2 + (\sqrt{3}P)^2 + 2 \cdot P \cdot (\sqrt{3}P) \cos \alpha$
   $\implies P^2 = P^2 + 3P^2 + 2\sqrt{3}P^2 \cos \alpha$
   $\implies 0 = 3P^2 + 2\sqrt{3}P^2 \cos \alpha$
   $\implies 2\sqrt{3}P^2 \cos \alpha = -3P^2$
   $\implies \cos \alpha = -\frac{3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
   $\implies \cos \alpha = \cos(180^\circ - 30^\circ) = \cos 150^\circ$
   $\implies \alpha = 150^\circ$

   সুতরাং, প্রথম দুইটি বলের মধ্যবর্তী কোণ $150^\circ$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ হতে,
   $A$ বিন্দুতে ক্রিয়াশীল বল $P = 8\text{ N}$, $B$ বিন্দুতে ক্রিয়াশীল বল $Q = 4\text{ N}$ এবং $AB = 10\text{ m}$।
   ধরি, প্রাথমিক অবস্থায় লব্ধি $C$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে।
   তাহলে,
   $P \cdot AC = Q \cdot BC$
   $\implies 8 \cdot AC = 4 \cdot (AB - AC)$
   $\implies 8 \cdot AC = 4 \cdot (10 - AC)$
   $\implies 8AC = 40 - 4AC$
   $\implies 12AC = 40$
   $\implies AC = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}\text{ m}$

   বলদ্বয় স্থান বিনিময় করলে $A$ বিন্দুতে $4\text{ N}$ এবং $B$ বিন্দুতে $8\text{ N}$ বল ক্রিয়া করবে।
   ধরি, নতুন অবস্থায় লব্ধি $C'$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে।
   তাহলে,
   $Q \cdot AC' = P \cdot BC'$
   $\implies 4 \cdot AC' = 8 \cdot (AB - AC')$
   $\implies 4 \cdot AC' = 8 \cdot (10 - AC')$
   $\implies 4AC' = 80 - 8AC'$
   $\implies 12AC' = 80$
   $\implies AC' = \frac{80}{12} = \frac{20}{3}\text{ m}$

   অতএব, লব্ধির সরণ,
   $CC' = AC' - AC = \frac{20}{3} - \frac{10}{3} = \frac{10}{3}\text{ m} \approx 3.33\text{ m}$

   সুতরাং, লব্ধি $AB$ বরাবর $\frac{10}{3}\text{ m}$ বা প্রায় $3.33\text{ m}$ দূরে সরে যাবে।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ এ $O$ হলো $\triangle ABC$ এর পরিকেন্দ্র এবং $F_1, F_2, F_3$ বল তিনটি যথাক্রমে $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$ বরাবর ক্রিয়াশীল থেকে সাম্যাবস্থায় রয়েছে।

   লামির উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,
   $\frac{F_1}{\sin(\angle BOC)} = \frac{F_2}{\sin(\angle COA)} = \frac{F_3}{\sin(\angle AOB)}$ ...(i)

   আমরা জানি, বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
   অতএব,
   $\angle BOC = 2A$
   $\angle COA = 2B$
   $\angle AOB = 2C$

   সুতরাং, (i) নং হতে পাই,
   $\frac{F_1}{\sin 2A} = \frac{F_2}{\sin 2B} = \frac{F_3}{\sin 2C}$ ...(ii)

   এখন,
   $\sin 2A = 2\sin A \cos A$
   আমরা জানি, ত্রিভুজের সাইন ও কোসাইন সূত্রানুসারে:
   $\sin A = \frac{a}{2R}$ (যেখানে $R$ হলো পরিব্যাসার্ধ)
   এবং $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

   অতএব,
   $\sin 2A = 2 \cdot \frac{a}{2R} \cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{a(b^2+c^2-a^2)}{2Rbc} = \frac{a^2(b^2+c^2-a^2)}{2Rabc}$

   অনুরূপভাবে,
   $\sin 2B = \frac{b^2(c^2+a^2-b^2)}{2Rabc}$
   $\sin 2C = \frac{c^2(a^2+b^2-c^2)}{2Rabc}$

   এখন (ii) নং সমীকরণে এই মানগুলো বসিয়ে পাই,
   $\frac{F_1}{\frac{a^2(b^2+c^2-a^2)}{2Rabc}} = \frac{F_2}{\frac{b^2(c^2+a^2-b^2)}{2Rabc}} = \frac{F_3}{\frac{c^2(a^2+b^2-c^2)}{2Rabc}}$

   উভয়পক্ষকে $2Rabc$ দ্বারা গুণ করে পাই,
   $\frac{F_1}{a^2(b^2+c^2-a^2)} = \frac{F_2}{b^2(c^2+a^2-b^2)} = \frac{F_3}{c^2(a^2+b^2-c^2)}$
   (প্রমাণিত)