পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো দৈব পরীক্ষার কোনো একটি ঘটনার অনুকূল ফলাফল সংখ্যা এবং মোট সম্ভাব্য ফলাফল সংখ্যার অনুপাতকে ঐ ঘটনার সম্ভাবনা বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দুটি অশূন্য সম্ভাবনাবিশিষ্ট ঘটনা একই সাথে স্বাধীন ও বর্জনশীল হতে পারে না।

   ব্যাখ্যা: দুটি ঘটনা $A$ ও $B$ বর্জনশীল হলে তাদের সাধারণ কোনো বিন্দু থাকে না, অর্থাৎ $P(A \cap B) = 0$। অন্যদিকে, ঘটনা দুটি স্বাধীন হলে তাদের যৌথ সম্ভাবনা তাদের গুণফলের সমান হয়, অর্থাৎ $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$।
   যদি $P(A) > 0$ এবং $P(B) > 0$ হয়, তবে $P(A) \cdot P(B) \neq 0$ হবে। অতএব, $P(A \cap B) = 0$ এবং $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ একই সাথে সত্য হতে পারে না। সুতরাং, বাস্তব ক্ষেত্রে দুটি স্বাধীন ঘটনা কখনো পরস্পর বর্জনশীল হতে পারে না।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   থলিতে বলের সংখ্যা:
   সাদা বল $= 4$ টি
   কালো বল $= 5$ টি
   লাল বল $= 6$ টি
   মোট বল $= 4 + 5 + 6 = 15$ টি।

   ১৫টি বল থেকে দৈবভাবে ৩টি বল তোলার মোট উপায়: ${}^{15}C_3 = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455$।

   কমপক্ষে ২টি কালো বল হওয়ার শর্তে ৩টি বল উত্তোলনের উপায়গুলো হলো:
   ১. ২টি কালো বল ও ১টি অন্য রঙের (সাদা বা লাল = ৯টি) বল: ${}^5 C_2 \times {}^9 C_1 = 10 \times 9 = 90$
   ২. ৩টিই কালো বল: ${}^5 C_3 = 10$

   অতএব, কমপক্ষে ২টি কালো বল হওয়ার অনুকূল উপায় $= 90 + 10 = 100$।

   সুতরাং, কমপক্ষে ২টি কালো বল হওয়ার সম্ভাবনা:
   $P(\text{কমপক্ষে ২টি কালো}) = \frac{100}{455} = \frac{20}{91} \approx 0.2198$

   উত্তর: $\frac{20}{91}$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মোট বল ১৫টি হতে ৩টি বল চয়নের মোট উপায়, $n(S) = {}^{15}C_3 = 455$।

   সফিকের প্রত্যাশা অনুযায়ী, ৩টি বলই একই রঙের হওয়ার সম্ভাবনা:
   ৩টি বলই সাদা অথবা ৩টিই কালো অথবা ৩টিই লাল হতে পারে।
   অনুকূল উপায়: ${}^4 C_3 + {}^5 C_3 + {}^6 C_3 = 4 + 10 + 20 = 34$।
   $\therefore P(\text{সফিকের জয়}) = \frac{34}{455} \approx 0.0747$

   রফিকের প্রত্যাশা অনুযায়ী, ৩টি বলই ভিন্ন রঙের (১টি সাদা, ১টি কালো ও ১টি লাল) হওয়ার সম্ভাবনা:
   অনুকূল উপায়: ${}^4 C_1 \times {}^5 C_1 \times {}^6 C_1 = 4 \times 5 \times 6 = 120$।
   $\therefore P(\text{রফিকের জয়}) = \frac{120}{455} \approx 0.2637$

   তুলনা করে দেখা যায় যে, $P(\text{রফিকের জয়}) > P(\text{সফিকের জয়})$ (যেহেতু $\frac{120}{455} > \frac{34}{455}$)।

   যেহেতু রফিকের প্রত্যাশিত ঘটনার সম্ভাবনা সফিকের চেয়ে বেশি, তাই প্রতিযোগিতায় রফিকের বিজয়ী হওয়ার সম্ভাবনা বেশি।