গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, প্রদত্ত ধারার প্রথম $n$ সংখ্যক পদের সমষ্টি $S_n$।
$S_n = 7 + 77 + 777 + \dots$ $n$ পদ পর্যন্ত
$= 7 (1 + 11 + 111 + \dots$ $n$ পদ পর্যন্ত$)$
$= \frac{7}{9} (9 + 99 + 999 + \dots$ $n$ পদ পর্যন্ত$)$
$= \frac{7}{9} [(10 - 1) + (10^2 - 1) + (10^3 - 1) + \dots + (10^n - 1)]$
$= \frac{7}{9} [(10 + 10^2 + 10^3 + \dots + 10^n) - (1 + 1 + 1 + \dots$ $n$টি $1)]$

এখানে, $10 + 10^2 + 10^3 + \dots + 10^n$ একটি গুণোত্তর ধারা, যার প্রথম পদ $a = 10$ এবং সাধারণ অনুপাত $r = 10 > 1$।
$\therefore S_n = \frac{7}{9} \left[ \frac{10(10^n - 1)}{10 - 1} - n \right]$
$= \frac{7}{9} \left[ \frac{10(10^n - 1)}{9} - n \right]$
$= \frac{70}{81}(10^n - 1) - \frac{7n}{9}$

উত্তর: $\frac{70}{81}(10^n - 1) - \frac{7n}{9}$