উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়কের মধ্যে দুইটি পার্থক্য নিম্নরূপ:
   ১. আকার: ম্যাট্রিক্স বর্গাকার বা আয়তাকার যেকোনো আকারের হতে পারে (সারি ও কলাম সংখ্যা সমান বা অসমান হতে পারে)। পক্ষান্তরে, নির্ণায়ক সর্বদাই বর্গাকার হয় (সারি ও কলাম সংখ্যা সর্বদা সমান)।
   ২. মান: ম্যাট্রিক্সের নিজস্ব কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যাত্মক মান নেই, এটি কেবল সংখ্যার একটি সুবিন্যস্ত কাঠামো। পক্ষান্তরে, নির্ণায়কের একটি নির্দিষ্ট সংখ্যাত্মক মান থাকে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ জোট:
   $x + 3y + 2z = 5$
   $2x + y + 3z = 1$
   $3x + 2y + z = 4$

   সহগ নির্ণায়ক,
   $D = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}$
   $= 1(1 - 6) - 3(2 - 9) + 2(4 - 3)$
   $= 1(-5) - 3(-7) + 2(1) = -5 + 21 + 2 = 18 \neq 0$

   এখন,
   $D_x = \begin{vmatrix} 5 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 1 \end{vmatrix}$
   $= 5(1 - 6) - 3(1 - 12) + 2(2 - 4)$
   $= 5(-5) - 3(-11) + 2(-2) = -25 + 33 - 4 = 4$

   $D_y = \begin{vmatrix} 1 & 5 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 4 & 1 \end{vmatrix}$
   $= 1(1 - 12) - 5(2 - 9) + 2(8 - 3)$
   $= 1(-11) - 5(-7) + 2(5) = -11 + 35 + 10 = 34$

   $D_z = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 4 \end{vmatrix}$
   $= 1(4 - 2) - 3(8 - 3) + 5(4 - 3)$
   $= 1(2) - 3(5) + 5(1) = 2 - 15 + 5 = -8$

   ক্রেমারের নিয়মানুযায়ী:
   $x = \frac{D_x}{D} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$
   $y = \frac{D_y}{D} = \frac{34}{18} = \frac{17}{9}$
   $z = \frac{D_z}{D} = \frac{-8}{18} = -\frac{4}{9}$

   নির্ণেয় সমাধান: $(x, y, z) = \left(\frac{2}{9}, \frac{17}{9}, -\frac{4}{9}\right)$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ জোটের চলকসমূহের সহগ দ্বারা গঠিত ম্যাট্রিক্সটি হলো:
   $M = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$

   এখন,
   $M^2 = M \cdot M = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$
   $= \begin{bmatrix} 1+6+6 & 3+3+4 & 2+9+2 \\ 2+2+9 & 6+1+6 & 4+3+3 \\ 3+4+3 & 9+2+2 & 6+6+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & 10 & 13 \\ 13 & 13 & 10 \\ 10 & 13 & 13 \end{bmatrix}$

   $2M = 2 \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 6 & 4 \\ 4 & 2 & 6 \\ 6 & 4 & 2 \end{bmatrix}$

   $3I = 3 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

   অতএব,
   $M^2 - 2M + 3I = \begin{bmatrix} 13 & 10 & 13 \\ 13 & 13 & 10 \\ 10 & 13 & 13 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 6 & 4 \\ 4 & 2 & 6 \\ 6 & 4 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$
   $= \begin{bmatrix} 13 - 2 + 3 & 10 - 6 + 0 & 13 - 4 + 0 \\ 13 - 4 + 0 & 13 - 2 + 3 & 10 - 6 + 0 \\ 10 - 6 + 0 & 13 - 4 + 0 & 13 - 2 + 3 \end{bmatrix}$
   $= \begin{bmatrix} 14 & 4 & 9 \\ 9 & 14 & 4 \\ 4 & 9 & 14 \end{bmatrix}$

   নির্ণেয় মান $\begin{bmatrix} 14 & 4 & 9 \\ 9 & 14 & 4 \\ 4 & 9 & 14 \end{bmatrix}$।