উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২১

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

f(x)=xsin⁡−1x2,g(x)=x4x2−4f(x) = x \sin^{-1}x^2, g(x) = \frac{x^4}{x^2 - 4}

  1. ক)

    সমাকলন কর: ∫5cos⁡4xsin⁡3xdx.\int 5 \cos 4x \sin 3x dx.

    (2)
  2. খ)

    যোগজ নির্ণয় কর: ∫f(x)dx.\int f(x) dx.

    (4)
  3. গ)

    ∫g(x)dx\int g(x) dx নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ∫5cos⁡4xsin⁡3x dx=52∫2cos⁡4xsin⁡3x dx\int 5 \cos 4x \sin 3x \, dx = \frac{5}{2} \int 2\cos 4x \sin 3x \, dx

    আমরা জানি, 2cos⁡Asin⁡B=sin⁡(A+B)−sin⁡(A−B)2\cos A \sin B = \sin(A+B) - \sin(A-B)
    অতএব, 2cos⁡4xsin⁡3x=sin⁡(4x+3x)−sin⁡(4x−3x)=sin⁡7x−sin⁡x2\cos 4x \sin 3x = \sin(4x + 3x) - \sin(4x - 3x) = \sin 7x - \sin x

    =52∫(sin⁡7x−sin⁡x) dx= \frac{5}{2} \int (\sin 7x - \sin x) \, dx
    =52(−cos⁡7x7−(−cos⁡x))+c= \frac{5}{2} \left( -\frac{\cos 7x}{7} - (-\cos x) \right) + c
    =52(cos⁡x−cos⁡7x7)+c= \frac{5}{2} \left( \cos x - \frac{\cos 7x}{7} \right) + c
    =52cos⁡x−514cos⁡7x+c= \frac{5}{2}\cos x - \frac{5}{14}\cos 7x + c
    যেখানে cc একটি সমাকলন ধ্রুবক।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, f(x)=xsin⁡−1(x2)f(x) = x \sin^{-1}(x^2)
    ∫f(x) dx=∫xsin⁡−1(x2) dx\int f(x) \, dx = \int x \sin^{-1}(x^2) \, dx

    ধরি, z=x2z = x^2
    তাহলে, dz=2x dx  ⟹  x dx=12dzdz = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{1}{2} dz

    মান বসিয়ে পাই:
    ∫xsin⁡−1(x2) dx=12∫sin⁡−1(z) dz\int x \sin^{-1}(x^2) \, dx = \frac{1}{2} \int \sin^{-1}(z) \, dz

    এখন ইউ-ভি (আংশিক সমাকলন) পদ্ধতি প্রয়োগ করি:
    =12[sin⁡−1(z)∫1 dz−∫(ddzsin⁡−1(z)∫1 dz)dz]= \frac{1}{2} \left[ \sin^{-1}(z) \int 1 \, dz - \int \left( \frac{d}{dz} \sin^{-1}(z) \int 1 \, dz \right) dz \right]
    =12[zsin⁡−1(z)−∫z1−z2 dz]= \frac{1}{2} \left[ z \sin^{-1}(z) - \int \frac{z}{\sqrt{1 - z^2}} \, dz \right]

    ∫z1−z2 dz\int \frac{z}{\sqrt{1-z^2}} \, dz নির্ণয়ের জন্য:
    ddz(1−z2)=−2z\frac{d}{dz}(1 - z^2) = -2z, সুতরাং:
    ∫z1−z2 dz=−12∫(1−z2)−12(−2z) dz=−12⋅(1−z2)1212=−1−z2\int \frac{z}{\sqrt{1 - z^2}} \, dz = -\frac{1}{2} \int (1 - z^2)^{-\frac{1}{2}} (-2z) \, dz = -\frac{1}{2} \cdot \frac{(1 - z^2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = -\sqrt{1 - z^2}

    অতএব,
    =12[zsin⁡−1(z)−(−1−z2)]+c= \frac{1}{2} \left[ z \sin^{-1}(z) - \left(-\sqrt{1 - z^2}\right) \right] + c
    =12zsin⁡−1(z)+121−z2+c= \frac{1}{2} z \sin^{-1}(z) + \frac{1}{2} \sqrt{1 - z^2} + c

    এখন z=x2z = x^2 বসিয়ে পাই:
    =12x2sin⁡−1(x2)+121−x4+c= \frac{1}{2} x^2 \sin^{-1}(x^2) + \frac{1}{2} \sqrt{1 - x^4} + c
    যেখানে cc একটি সমাকলন ধ্রুবক।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, g(x)=x4x2−4g(x) = \frac{x^4}{x^2 - 4}
    ∫g(x) dx=∫x4x2−4 dx\int g(x) \, dx = \int \frac{x^4}{x^2 - 4} \, dx

    লবকে হরের আকারে প্রকাশ করি:
    x4x2−4=x4−16+16x2−4=(x2−4)(x2+4)+16x2−4=x2+4+16x2−4\frac{x^4}{x^2 - 4} = \frac{x^4 - 16 + 16}{x^2 - 4} = \frac{(x^2 - 4)(x^2 + 4) + 16}{x^2 - 4} = x^2 + 4 + \frac{16}{x^2 - 4}

    অতএব,
    ∫x4x2−4 dx=∫(x2+4) dx+16∫1x2−22 dx\int \frac{x^4}{x^2 - 4} \, dx = \int (x^2 + 4) \, dx + 16 \int \frac{1}{x^2 - 2^2} \, dx

    আমরা জানি, ∫1x2−a2 dx=12aln⁡∣x−ax+a∣\int \frac{1}{x^2 - a^2} \, dx = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{x - a}{x + a} \right|

    সুতরাং,
    =x33+4x+16⋅12⋅2ln⁡∣x−2x+2∣+c= \frac{x^3}{3} + 4x + 16 \cdot \frac{1}{2 \cdot 2} \ln \left| \frac{x - 2}{x + 2} \right| + c
    =x33+4x+4ln⁡∣x−2x+2∣+c= \frac{x^3}{3} + 4x + 4 \ln \left| \frac{x - 2}{x + 2} \right| + c
    যেখানে cc একটি সমাকলন ধ্রুবক।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন