H উচ্চতায় অবস্থিত একটি বেলুন থেকে একটি পাথর ছেড়ে দিলে তা h উচ্চতার অবস্থিত একটি হেলানো তলের উপর আছড়ে পড়ে। হেলানো তলকে আঘাতের পর পাথরটির বেগ অনুভূমিক হয়। h/H এর মান কত হলে পাথরটি ভূমিকে স্পর্শ করতে সর্বোচ্চ সময় নিবে?

Question

Accepted Answer

খ. 12\frac{1}{2}

ব্যাখ্যা: ধরি, পাথরটি বেলুন থেকে মুক্তভাবে পড়ে। বেলুনের উচ্চতা $H$ এবং হেলানো তলের উচ্চতা $h$।
পাথরটি হেলানো তলে পৌঁছাতে অতিক্রান্ত উল্লম্ব দূরত্ব = $H - h$।
এই দূরত্ব অতিক্রম করতে প্রয়োজনীয় সময়, $t_1 = \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}}$।

হেলানো তলে আঘাত করার পর পাথরটির বেগ সম্পূর্ণ অনুভূমিক হয়ে যায়। অর্থাৎ, এর উল্লম্ব বেগের উপাংশ শূন্য ($u_y = 0$) হয়ে যায়।
এরপর এটি $h$ উচ্চতা থেকে ভূমিতে পড়ে। এই দ্বিতীয় অংশের জন্য সময়, $t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$।

সুতরাং পাথরটি ভূমি স্পর্শ করার মোট সময়:
$T = t_1 + t_2 = \sqrt{\frac{2}{g}} \left( \sqrt{H-h} + \sqrt{h} \right)$

$T$ সর্বোচ্চ হওয়ার জন্য $\frac{dT}{dh} = 0$ হতে হবে:
$\frac{d}{dh} \left( \sqrt{H-h} + \sqrt{h} \right) = 0$
$\implies -\frac{1}{2\sqrt{H-h}} + \frac{1}{2\sqrt{h}} = 0$
$\implies \frac{1}{\sqrt{h}} = \frac{1}{\sqrt{H-h}}$
$\implies h = H - h$
$\implies 2h = H$
$\implies \frac{h}{H} = \frac{1}{2}$।

অতএব, $h/H$ এর মান $\frac{1}{2}$ হলে মোট সময় সর্বোচ্চ হবে।

পদার্থবিজ্ঞান প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন