পরিসংখ্যান ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   কোনো দৈব পরীক্ষার সাথে সংশ্লিষ্ট নমুনা ক্ষেত্রের যেকোনো উপসেটকে ঘটনা (Event) বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   যে ঘটনা কোনো দৈব পরীক্ষায় কখনোই সংঘটিত হতে পারে না, তাকে অসম্ভব ঘটনা বলে।

   সম্ভাবনার সংজ্ঞানুযায়ী, কোনো ঘটনার সম্ভাবনা হলো উক্ত ঘটনার অনুকূল ফলাফল সংখ্যা ও মোট সম্ভাব্য ফলাফল সংখ্যার অনুপাত। যেহেতু অসম্ভব ঘটনার ক্ষেত্রে অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা শূন্য ($m = 0$) এবং মোট ফলাফল সংখ্যা $n > 0$, সেহেতু অসম্ভব ঘটনাটির সম্ভাবনা $P(\phi) = \frac{0}{n} = 0$। তাই অসম্ভব ঘটনার সম্ভাবনার মান সর্বদাই শূন্য।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-১ এ, তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একত্রে একবার নিক্ষেপ করা হলো।
   এখানে, নমুনা ক্ষেত্র $S$ হবে:
   $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
   সুতরাং, মোট ফলাফল সংখ্যা, $n(S) = 8$

   ধরি, কমপক্ষে ২টি মাথা (H) পাওয়ার ঘটনা $A$।
   কমপক্ষে ২টি মাথা পাওয়ার অর্থ হলো ২টি বা ৩টি মাথা পাওয়া।
   ঘটনা $A$-এর অনুকূল নমুনা বিন্দুসমূহ:
   $A = \{HHH, HHT, HTH, THH\}$
   সুতরাং, অনুকূল ফলাফল সংখ্যা, $n(A) = 4$

   অতএব, নির্ণেয় সম্ভাবনা:
   $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দৃশ্যকল্প-২ এ, দুইটি নিরপেক্ষ ছক্কা একত্রে একবার নিক্ষেপ করা হলো।
   ছক্কা দুটি নিক্ষেপে মোট সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা, $n(S) = 6 \times 6 = 36$।

   ধরি, প্রাপ্ত ফোটার সংখ্যার যোগফল ৪ হওয়ার ঘটনা $A$ এবং যোগফল ১০ হওয়ার ঘটনা $B$।

   যোগফল ৪ হওয়ার অনুকূল নমুনা বিন্দুসমূহ:
   $A = \{(1, 3), (2, 2), (3, 1)\}$
   সুতরাং, $A$ ঘটনার অনুকূল ফলাফল সংখ্যা, $n(A) = 3$
   অতএব, যোগফল ৪ পাওয়ার সম্ভাবনা:
   $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

   আবার, যোগফল ১০ হওয়ার অনুকূল নমুনা বিন্দুসমূহ:
   $B = \{(4, 6), (5, 5), (6, 4)\}$
   সুতরাং, $B$ ঘটনার অনুকূল ফলাফল সংখ্যা, $n(B) = 3$
   অতএব, যোগফল ১০ পাওয়ার সম্ভাবনা:
   $P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

   দেখা যাচ্ছে যে, $P(A) = P(B) = \frac{1}{12}$।
   অর্থাৎ, ফোটার সংখ্যার যোগফল ৪ পাওয়ার সম্ভাবনা এবং যোগফল ১০ পাওয়ার সম্ভাবনা পরস্পর সমান।

   সুতরাং, ছক্কা নিক্ষেপকারীর মন্তব্যটি সঠিক ও যথার্থ।