গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু তিনটি $A(k, -3k)$, $B(5, k)$ এবং $C(-k, 2)$।
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল:
$\Delta = \frac{1}{2} |k(k - 2) + 5(2 - (-3k)) + (-k)(-3k - k)|$
$= \frac{1}{2} |k^2 - 2k + 10 + 15k + 4k^2|$
$= \frac{1}{2} |5k^2 + 13k + 10|$

প্রশ্নমতে,
$\frac{1}{2} |5k^2 + 13k + 10| = 28$
$\implies |5k^2 + 13k + 10| = 56$

ক্ষেত্র-১:
$5k^2 + 13k + 10 = 56$
$\implies 5k^2 + 13k - 46 = 0$
$\implies 5k^2 - 10k + 23k - 46 = 0$
$\implies 5k(k - 2) + 23(k - 2) = 0$
$\implies (k - 2)(5k + 23) = 0$
যেহেতু $k$ একটি পূর্ণসংখ্যা, তাই $k = 2$ ($k = -\frac{23}{5}$ গ্রহণযোগ্য নয়)।

ক্ষেত্র-২:
$5k^2 + 13k + 10 = -56 \implies 5k^2 + 13k + 66 = 0$
নিশ্চায়ক $D = 13^2 - 4 \times 5 \times 66 = 169 - 1320 < 0$, সুতরাং এখান থেকে কোনো বাস্তব মান পাওয়া যায় না।

অতএব, $k = 2$।
শীর্ষবিন্দু তিনটি হলো: $A(2, -6)$, $B(5, 2)$ এবং $C(-2, 2)$।

যেহেতু $B(5, 2)$ এবং $C(-2, 2)$-এর $y$-স্থানাঙ্ক সমান, তাই $BC$ বাহু $x$-অক্ষের সমান্তরাল (সমীকরণ: $y = 2$)।
অতএব, $A(2, -6)$ থেকে $BC$-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব $AD$-এর সমীকরণ হবে: $x = 2$।

আবার, $AC$ রেখার ঢাল $m_{AC} = \frac{2 - (-6)}{-2 - 2} = \frac{8}{-4} = -2$।
সুতরাং, $B(5, 2)$ থেকে $AC$-এর ওপর অঙ্কিত লম্বের ঢাল হবে: $m = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$।
$B$ বিন্দুগামী লম্বের সমীকরণ:
$y - 2 = \frac{1}{2}(x - 5)$
$\implies 2y - 4 = x - 5$
$\implies x - 2y - 1 = 0$

$AD$ রেখার মান $x = 2$ এই সমীকরণে বসিয়ে পাই,
$2 - 2y - 1 = 0 \implies 2y = 1 \implies y = \frac{1}{2}$

অতএব, ত্রিভুজটির লম্ববিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(2, \frac{1}{2}\right)$।