গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত বক্ররেখা $y = \frac{1}{x} - 1$।
বক্ররেখাটি $x$-অক্ষকে যেখানে ছেদ করে, সেখানে $y = 0$:
$\frac{1}{x} - 1 = 0 \implies x = 1$

যেহেতু আবদ্ধ অঞ্চলের সীমা $x = \frac{1}{2}$ থেকে $x = 2$ পর্যন্ত:

• $\frac{1}{2} \le x \le 1$ ব্যবধিতে, $y \ge 0$ (বক্ররেখাটি $x$-অক্ষের উপরে থাকে)
• $1 \le x \le 2$ ব্যবধিতে, $y \le 0$ (বক্ররেখাটি $x$-অক্ষের নিচে থাকে)

অতএব, নির্ণেয় আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল:
$A = \int_{1/2}^{1} \left(\frac{1}{x} - 1\right) dx + \int_{1}^{2} -\left(\frac{1}{x} - 1\right) dx$
$A = \left[ \ln|x| - x \right]_{1/2}^{1} + \left[ x - \ln|x| \right]_{1}^{2}$

প্রথম অংশ:
$\left[ \ln(1) - 1 \right] - \left[ \ln\left(\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2} \right] = -1 - \left(-\ln 2 - \frac{1}{2}\right) = \ln 2 - \frac{1}{2}$

দ্বিতীয় অংশ:
$\left[ 2 - \ln 2 \right] - \left[ 1 - \ln 1 \right] = 1 - \ln 2$

অতএব, মোট ক্ষেত্রফল:
$A = \left(\ln 2 - \frac{1}{2}\right) + (1 - \ln 2) = \frac{1}{2} \text{ বর্গ একক}$

উত্তর: $\frac{1}{2}$ বর্গ একক