উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১: D=∣(b+c)2a2+11(c+a)2b2+11(a+b)2c2+11∣ D=\left|\begin{array}{lll}(b+c)^{2} & a^{2}+1 & 1 \ (c+a)^{2} & b^{2}+1 & 1 \ (a+b)^{2} & c^{2}+1 & 1\end{array}\right| দৃশ্যকল্প-২:2x+y−z=10 2 x+y-z=10 3x+2y+2z=15x+4y+3z=4 3 x+2 y+2 z=1 \ 5 x+4 y+3 z=4

  1. ক)

    B=[6432] B=\left[\begin{array}{ll}6 & 4 \ 3 & 2\end{array}\right] হলে B B ম্যাট্রিক্সের বিপরীত যোগ্যতা নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    প্রমাণ কর যে, D=−2(a+b+c)(a−b)(b−c)(c−a) D=-2(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a) .

    (4)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প-২ হতে ক্রেমারের নিয়ম ব্যবহার করে সমাধান কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    B=[6432]B = \begin{bmatrix} 6 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}

    ম্যাট্রিক্স BB-এর নির্ণায়ক,
    ∣B∣=∣6432∣=(6×2)−(4×3)=12−12=0|B| = \begin{vmatrix} 6 & 4 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = (6 \times 2) - (4 \times 3) = 12 - 12 = 0

    যেহেতু ∣B∣=0|B| = 0, তাই BB একটি ব্যতিক্রমী (singular) ম্যাট্রিক্স। অতএব, BB ম্যাট্রিক্সের বিপরীত যোগ্যতা নেই (অর্থাৎ BB ম্যাট্রিক্সটি বিপরীতযোগ্য নয়)।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    D=∣(b+c)2a2+11(c+a)2b2+11(a+b)2c2+11∣D = \begin{vmatrix} (b+c)^2 & a^2+1 & 1 \\ (c+a)^2 & b^2+1 & 1 \\ (a+b)^2 & c^2+1 & 1 \end{vmatrix}

    C2′=C2−C3C_2' = C_2 - C_3 করে পাই,
    D=∣(b+c)2a21(c+a)2b21(a+b)2c21∣D = \begin{vmatrix} (b+c)^2 & a^2 & 1 \\ (c+a)^2 & b^2 & 1 \\ (a+b)^2 & c^2 & 1 \end{vmatrix}

    এখন R1′=R1−R2R_1' = R_1 - R_2 এবং R2′=R2−R3R_2' = R_2 - R_3 প্রয়োগ করে পাই,
    D=∣(b+c)2−(c+a)2a2−b20(c+a)2−(a+b)2b2−c20(a+b)2c21∣D = \begin{vmatrix} (b+c)^2 - (c+a)^2 & a^2 - b^2 & 0 \\ (c+a)^2 - (a+b)^2 & b^2 - c^2 & 0 \\ (a+b)^2 & c^2 & 1 \end{vmatrix}
    =∣−(a−b)(a+b+2c)(a−b)(a+b)0−(b−c)(2a+b+c)(b−c)(b+c)0(a+b)2c21∣= \begin{vmatrix} -(a-b)(a+b+2c) & (a-b)(a+b) & 0 \\ -(b-c)(2a+b+c) & (b-c)(b+c) & 0 \\ (a+b)^2 & c^2 & 1 \end{vmatrix}

    প্রথম সারি থেকে (a−b)(a-b) এবং দ্বিতীয় সারি থেকে (b−c)(b-c) সাধারণ নিয়ে পাই,
    D=(a−b)(b−c)∣−(a+b+2c)a+b0−(2a+b+c)b+c0(a+b)2c21∣D = (a-b)(b-c) \begin{vmatrix} -(a+b+2c) & a+b & 0 \\ -(2a+b+c) & b+c & 0 \\ (a+b)^2 & c^2 & 1 \end{vmatrix}

    ৩য় কলাম বরাবর বিস্তার করে পাই,
    D=(a−b)(b−c)[−(a+b+2c)(b+c)+(2a+b+c)(a+b)]D = (a-b)(b-c) \left[ -(a+b+2c)(b+c) + (2a+b+c)(a+b) \right]
    =(a−b)(b−c)[−(b2+2c2+ab+ac+3bc)+(2a2+b2+3ab+ac+bc)]= (a-b)(b-c) \left[ -(b^2 + 2c^2 + ab + ac + 3bc) + (2a^2 + b^2 + 3ab + ac + bc) \right]
    =(a−b)(b−c)(2a2−2c2+2ab−2bc)= (a-b)(b-c) (2a^2 - 2c^2 + 2ab - 2bc)
    =2(a−b)(b−c)[(a2−c2)+b(a−c)]= 2(a-b)(b-c) \left[ (a^2 - c^2) + b(a - c) \right]
    =2(a−b)(b−c)(a−c)(a+b+c)= 2(a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)
    =−2(a+b+c)(a−b)(b−c)(c−a)= -2(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)
    (প্রমাণিত)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-২ হতে সমীকরণজোট:
    2x+y−z=102x + y - z = 10
    3x+2y+2z=13x + 2y + 2z = 1
    5x+4y+3z=45x + 4y + 3z = 4

    সহগ নির্ণায়ক,
    D=∣21−1322543∣=2(6−8)−1(9−10)−1(12−10)=−4+1−2=−5≠0D = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 5 & 4 & 3 \end{vmatrix} = 2(6 - 8) - 1(9 - 10) - 1(12 - 10) = -4 + 1 - 2 = -5 \neq 0

    Dx=∣101−1122443∣=10(6−8)−1(3−8)−1(4−8)=−20+5+4=−11D_x = \begin{vmatrix} 10 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 4 & 4 & 3 \end{vmatrix} = 10(6 - 8) - 1(3 - 8) - 1(4 - 8) = -20 + 5 + 4 = -11

    Dy=∣210−1312543∣=2(3−8)−10(9−10)−1(12−5)=−10+10−7=−7D_y = \begin{vmatrix} 2 & 10 & -1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 5 & 4 & 3 \end{vmatrix} = 2(3 - 8) - 10(9 - 10) - 1(12 - 5) = -10 + 10 - 7 = -7

    Dz=∣2110321544∣=2(8−4)−1(12−5)+10(12−10)=8−7+20=21D_z = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 10 \\ 3 & 2 & 1 \\ 5 & 4 & 4 \end{vmatrix} = 2(8 - 4) - 1(12 - 5) + 10(12 - 10) = 8 - 7 + 20 = 21

    ক্রেমারের নিয়ম মতে:
    x=DxD=−11−5=115x = \frac{D_x}{D} = \frac{-11}{-5} = \frac{11}{5}
    y=DyD=−7−5=75y = \frac{D_y}{D} = \frac{-7}{-5} = \frac{7}{5}
    z=DzD=21−5=−215z = \frac{D_z}{D} = \frac{21}{-5} = -\frac{21}{5}

    অতএব, নির্ণেয় সমাধান: (x,y,z)=(115,75,−215)(x, y, z) = \left(\frac{11}{5}, \frac{7}{5}, -\frac{21}{5}\right)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন