ক) AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে,a + i b = x + i y 3 a+ib = \sqrt[3]{x+iy} a + ib = 3 x + i y ( a + i b ) 3 = x + i y (a+ib)^3 = x+iy ( a + ib ) 3 = x + i y ⟹ a 3 + 3 a 2 ( i b ) + 3 a ( i b ) 2 + ( i b ) 3 = x + i y \implies a^3 + 3a^2(ib) + 3a(ib)^2 + (ib)^3 = x+iy ⟹ a 3 + 3 a 2 ( ib ) + 3 a ( ib ) 2 + ( ib ) 3 = x + i y ⟹ a 3 + 3 a 2 b i − 3 a b 2 − i b 3 = x + i y \implies a^3 + 3a^2bi - 3ab^2 - ib^3 = x+iy ⟹ a 3 + 3 a 2 bi − 3 a b 2 − i b 3 = x + i y ⟹ ( a 3 − 3 a b 2 ) + i ( 3 a 2 b − b 3 ) = x + i y \implies (a^3 - 3ab^2) + i(3a^2b - b^3) = x+iy ⟹ ( a 3 − 3 a b 2 ) + i ( 3 a 2 b − b 3 ) = x + i y
উভয়পক্ষ হতে বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই,x = a 3 − 3 a b 2 ⟹ x a = a 2 − 3 b 2 x = a^3 - 3ab^2 \implies \frac{x}{a} = a^2 - 3b^2 x = a 3 − 3 a b 2 ⟹ a x = a 2 − 3 b 2 y = 3 a 2 b − b 3 ⟹ y b = 3 a 2 − b 2 y = 3a^2b - b^3 \implies \frac{y}{b} = 3a^2 - b^2 y = 3 a 2 b − b 3 ⟹ b y = 3 a 2 − b 2
এখন, বামপক্ষ:x a + y b = ( a 2 − 3 b 2 ) + ( 3 a 2 − b 2 ) \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = (a^2 - 3b^2) + (3a^2 - b^2) a x + b y = ( a 2 − 3 b 2 ) + ( 3 a 2 − b 2 ) = 4 a 2 − 4 b 2 = 4 ( a 2 − b 2 ) = 4a^2 - 4b^2 = 4(a^2 - b^2) = 4 a 2 − 4 b 2 = 4 ( a 2 − b 2 )
খ) AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে, দৃশ্যকল্প-১ হতে a = 7 a=7 a = 7 b = 30 − 2 = 30 2 i b=30\sqrt{-2} = 30\sqrt{2}i b = 30 − 2 = 30 2 i z = a − b = 7 − 30 2 i z = a - b = 7 - 30\sqrt{2}i z = a − b = 7 − 30 2 i
ধরি, z = 7 − 30 2 i = ± ( p − i q ) \sqrt{z} = \sqrt{7 - 30\sqrt{2}i} = \pm(p - iq) z = 7 − 30 2 i = ± ( p − i q ) z = 25 − 30 2 i − 18 z = 25 - 30\sqrt{2}i - 18 z = 25 − 30 2 i − 18 = 5 2 − 2 ⋅ 5 ⋅ ( 3 2 i ) + ( 3 2 i ) 2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot (3\sqrt{2}i) + (3\sqrt{2}i)^2 = 5 2 − 2 ⋅ 5 ⋅ ( 3 2 i ) + ( 3 2 i ) 2 = ( 5 − 3 2 i ) 2 = (5 - 3\sqrt{2}i)^2 = ( 5 − 3 2 i ) 2
অতএব,z = ± ( 5 − 3 2 i ) \sqrt{z} = \pm (5 - 3\sqrt{2}i) z = ± ( 5 − 3 2 i )
গ) AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দৃশ্যকল্প-২ হতে,( 1 + x ) n = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + … + c n x n (1+x)^n = c_0 + c_1x + c_2x^2 + c_3x^3 + c_4x^4 + \ldots + c_nx^n ( 1 + x ) n = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + c 4 x 4 + … + c n x n
x = i x = i x = i ( 1 + i ) n = ( c 0 − c 2 + c 4 − … ) + i ( c 1 − c 3 + c 5 − … ) — (i) (1+i)^n = (c_0 - c_2 + c_4 - \ldots) + i(c_1 - c_3 + c_5 - \ldots) \quad \text{--- (i)} ( 1 + i ) n = ( c 0 − c 2 + c 4 − … ) + i ( c 1 − c 3 + c 5 − … ) — (i)
x = − i x = -i x = − i ( 1 − i ) n = ( c 0 − c 2 + c 4 − … ) − i ( c 1 − c 3 + c 5 − … ) — (ii) (1-i)^n = (c_0 - c_2 + c_4 - \ldots) - i(c_1 - c_3 + c_5 - \ldots) \quad \text{--- (ii)} ( 1 − i ) n = ( c 0 − c 2 + c 4 − … ) − i ( c 1 − c 3 + c 5 − … ) — (ii)
(i) ও (ii) গুণ করে পাই,( 1 + i ) n ( 1 − i ) n = ( c 0 − c 2 + c 4 − … ) 2 + ( c 1 − c 3 + c 5 − … ) 2 (1+i)^n (1-i)^n = (c_0 - c_2 + c_4 - \ldots)^2 + (c_1 - c_3 + c_5 - \ldots)^2 ( 1 + i ) n ( 1 − i ) n = ( c 0 − c 2 + c 4 − … ) 2 + ( c 1 − c 3 + c 5 − … ) 2 ⟹ ( 1 − i 2 ) n = ( c 0 − c 2 + c 4 − … ) 2 + ( c 1 − c 3 + c 5 − … ) 2 \implies (1 - i^2)^n = (c_0 - c_2 + c_4 - \ldots)^2 + (c_1 - c_3 + c_5 - \ldots)^2 ⟹ ( 1 − i 2 ) n = ( c 0 − c 2 + c 4 − … ) 2 + ( c 1 − c 3 + c 5 − … ) 2 ⟹ 2 n = ( c 0 − c 2 + c 4 − … ) 2 + ( c 1 − c 3 + c 5 − … ) 2 \implies 2^n = (c_0 - c_2 + c_4 - \ldots)^2 + (c_1 - c_3 + c_5 - \ldots)^2 ⟹ 2 n = ( c 0 − c 2 + c 4 − … ) 2 + ( c 1 − c 3 + c 5 − … ) 2
আবার মূল ধারায় x = 1 x = 1 x = 1 ( 1 + 1 ) n = 2 n = c 0 + c 1 + c 2 + c 3 + … (1+1)^n = 2^n = c_0 + c_1 + c_2 + c_3 + \ldots ( 1 + 1 ) n = 2 n = c 0 + c 1 + c 2 + c 3 + …
অতএব,( c 0 − c 2 + c 4 − … ) 2 + ( c 1 − c 3 + c 5 − … ) 2 = c 0 + c 1 + c 2 + c 3 + … (c_0 - c_2 + c_4 - \ldots)^2 + (c_1 - c_3 + c_5 - \ldots)^2 = c_0 + c_1 + c_2 + c_3 + \ldots ( c 0 − c 2 + c 4 − … ) 2 + ( c 1 − c 3 + c 5 − … ) 2 = c 0 + c 1 + c 2 + c 3 + … ⟹ ( c 0 − c 2 + c 4 − … ) 2 = ( c 0 + c 1 + c 2 + c 3 + … ) − ( c 1 − c 3 + c 5 − … ) 2 \implies (c_0 - c_2 + c_4 - \ldots)^2 = (c_0 + c_1 + c_2 + c_3 + \ldots) - (c_1 - c_3 + c_5 - \ldots)^2 ⟹ ( c 0 − c 2 + c 4 − … ) 2 = ( c 0 + c 1 + c 2 + c 3 + … ) − ( c 1 − c 3 + c 5 − … ) 2