পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: গ অংশের জন্য সিলিন্ডারটিকে একটি সরু সুষম দণ্ড হিসেবে বিবেচনা করা হয়েছে যার ব্যাসার্ধ দৈর্ঘ্যের তুলনায় নগণ্য। | গ অংশের সাংখ্যিক মানের জন্য ধরে নেওয়া হয়েছে CD অক্ষটি দণ্ডটির এক প্রান্তে অবস্থিত, অর্থাৎ অর্ধ-দৈর্ঘ্য L/2 = 60 cm = 0.6 m বা L = 1.2 m। | ঘ অংশের ক্ষেত্রে চাকতির ভর, ব্যাসার্ধ ও উভয়ের কৌণিক বেগ সংক্রান্ত তথ্য অনুপস্থিত থাকায় সূত্রভিত্তিক যাচাই কাঠামো প্রদর্শন করা হয়েছে।

   প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান নির্দেশ করার জন্য যে ভেক্টর ব্যবহার করা হয়, তাকে অবস্থান ভেক্টর বা ব্যাসার্ধিক ভেক্টর (Radius Vector) বলে।

2. খ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: গ অংশের জন্য সিলিন্ডারটিকে একটি সরু সুষম দণ্ড হিসেবে বিবেচনা করা হয়েছে যার ব্যাসার্ধ দৈর্ঘ্যের তুলনায় নগণ্য। | গ অংশের সাংখ্যিক মানের জন্য ধরে নেওয়া হয়েছে CD অক্ষটি দণ্ডটির এক প্রান্তে অবস্থিত, অর্থাৎ অর্ধ-দৈর্ঘ্য L/2 = 60 cm = 0.6 m বা L = 1.2 m। | ঘ অংশের ক্ষেত্রে চাকতির ভর, ব্যাসার্ধ ও উভয়ের কৌণিক বেগ সংক্রান্ত তথ্য অনুপস্থিত থাকায় সূত্রভিত্তিক যাচাই কাঠামো প্রদর্শন করা হয়েছে।

   ঘূর্ণনরত কোনো দৃঢ় বস্তুর প্রতিটি কণা নির্দিষ্ট সময়ে কেন্দ্র বা অক্ষের সাপেক্ষে সমান কোণ অতিক্রম করে। ফলে অক্ষ থেকে কণাগুলোর দূরত্ব যাই হোক না কেন, তাদের সবার কৌণিক সরণ ও কৌণিক বেগ ($\omega = \frac{d\theta}{dt}$) একই থাকে।

   কিন্তু ঘূর্ণন অক্ষ থেকে $r$ দূরত্বের কোনো কণার রৈখিক বেগ হলো $v = \omega r$। যেহেতু বিভিন্ন কণার ক্ষেত্রে ঘূর্ণন অক্ষ হতে লম্ব দূরত্ব $r$ ভিন্ন ভিন্ন হয়, তাই কৌণিক বেগ $\omega$ একই থাকা সত্ত্বেও $r$ এর ভিন্নতার কারণে কণাগুলোর রৈখিক বেগ $v$ ভিন্ন হয়।

3. গ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: গ অংশের জন্য সিলিন্ডারটিকে একটি সরু সুষম দণ্ড হিসেবে বিবেচনা করা হয়েছে যার ব্যাসার্ধ দৈর্ঘ্যের তুলনায় নগণ্য। | গ অংশের সাংখ্যিক মানের জন্য ধরে নেওয়া হয়েছে CD অক্ষটি দণ্ডটির এক প্রান্তে অবস্থিত, অর্থাৎ অর্ধ-দৈর্ঘ্য L/2 = 60 cm = 0.6 m বা L = 1.2 m। | ঘ অংশের ক্ষেত্রে চাকতির ভর, ব্যাসার্ধ ও উভয়ের কৌণিক বেগ সংক্রান্ত তথ্য অনুপস্থিত থাকায় সূত্রভিত্তিক যাচাই কাঠামো প্রদর্শন করা হয়েছে।

   সিলিন্ডারের ভর, $m = 2\text{ kg}$
   অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দূরত্ব, $d = 60\text{ cm} = 0.6\text{ m}$

   [শর্তাধীন সমাধান]:
   যদি সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ দৈর্ঘ্যের তুলনায় নগণ্য (সরু দণ্ডাকার) ধরা হয় এবং এর দৈর্ঘ্য $L$ জানা থাকে, তবে ভরকেন্দ্রগামী লম্ব অক্ষ $AB$-এর সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক:
   $I_G = \frac{1}{12}mL^2$

   সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য অনুসারে, $AB$-এর সমান্তরাল $CD$ অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক:
   $I_{CD} = I_G + md^2 = \frac{1}{12}mL^2 + md^2$

   বিশেষ অনুমান (যদি $CD$ অক্ষটি দণ্ডের ঠিক প্রান্তে অবস্থিত হয়, অর্থাৎ $\frac{L}{2} = d = 0.6\text{ m} \implies L = 1.2\text{ m}$ হয়):
   $I_G = \frac{1}{12} \times 2 \times (1.2)^2 = 0.24\text{ kg}\cdot\text{m}^2$
   $\therefore I_{CD} = I_G + md^2 = 0.24 + 2 \times (0.6)^2 = 0.24 + 0.72 = 0.96\text{ kg}\cdot\text{m}^2$

   অতএব, এই অনুমানের ভিত্তিতে $CD$ অক্ষের সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক $0.96\text{ kg}\cdot\text{m}^2$। (অন্যথায় সম্পূর্ণ মান নির্ণয়ের জন্য সিলিন্ডারের দৈর্ঘ্য $L$ ও ব্যাসার্ধ $r$ সরবরাহ করা আবশ্যক)।

4. ঘ)

   AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।

   স্পষ্ট অনুমান: গ অংশের জন্য সিলিন্ডারটিকে একটি সরু সুষম দণ্ড হিসেবে বিবেচনা করা হয়েছে যার ব্যাসার্ধ দৈর্ঘ্যের তুলনায় নগণ্য। | গ অংশের সাংখ্যিক মানের জন্য ধরে নেওয়া হয়েছে CD অক্ষটি দণ্ডটির এক প্রান্তে অবস্থিত, অর্থাৎ অর্ধ-দৈর্ঘ্য L/2 = 60 cm = 0.6 m বা L = 1.2 m। | ঘ অংশের ক্ষেত্রে চাকতির ভর, ব্যাসার্ধ ও উভয়ের কৌণিক বেগ সংক্রান্ত তথ্য অনুপস্থিত থাকায় সূত্রভিত্তিক যাচাই কাঠামো প্রদর্শন করা হয়েছে।

   ঘূর্ণন গতিশক্তির সূত্র হলো $E_k = \frac{1}{2}I\omega^2$।

   উদ্দীপকের সিলিন্ডারের গতিশক্তি:
   $E_{k(\text{cylinder})} = \frac{1}{2} I_{\text{cylinder}} \omega_{\text{cylinder}}^2$

   চাকতির ঘূর্ণন গতিশক্তি:
   $E_{k(\text{disc})} = \frac{1}{2} I_{\text{disc}} \omega_{\text{disc}}^2$

   উদ্দীপকে উল্লেখিত দাবির গাণিতিক রূপ:
   $\frac{E_{k(\text{cylinder})}}{E_{k(\text{disc})}} > 5$

   ঘাটতি ও বিশ্লেষণ:
   উদ্দীপকে কিংবা প্রশ্নে চাকতির কোনো তথ্য (যেমন: চাকতির ভর $M_d$, ব্যাসার্ধ $R_d$, ঘূর্ণন অক্ষের প্রকৃতি) এবং সিলিন্ডার ও চাকতির কৌণিক বেগের সম্পর্ক (বা সমান কৌণিক বেগ কি না) উল্লেখ করা হয়নি। ফলে $I_{\text{disc}}$ ও $E_{k(\text{disc})}$ এর মান নির্ণয় করা সম্ভব নয়। প্রয়োজনীয় তথ্যের অভাবে দাবিটির গাণিতিক সত্যতা চূড়ান্তভাবে যাচাই করা অসম্ভব।