উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   |2x + 3| < 7
   ⇒ -7 < 2x + 3 < 7
   সব পক্ষ থেকে 3 বিয়োগ করে পাই,
   ⇒ -7 - 3 < 2x < 7 - 3
   ⇒ -10 < 2x < 4
   সব পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই,
   ⇒ -5 < x < 2

   অতএব, পরমমান চিহ্ন ব্যতীত প্রকাশ: -5 < x < 2।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া অসমতা: (2x + 1)(x - 1)(x - 3) ≤ 0
   বা, 2(x + 1/2)(x - 1)(x - 3) ≤ 0
   বা, (x + 1/2)(x - 1)(x - 3) ≤ 0

   সংখ্যার রেখায় বিভাজনকারী বিন্দুগুলো হলো: x = -1/2, 1, 3।
   বিন্দুগুলো সংখ্যারেখাকে চারটি ব্যবধিতে বিভক্ত করে:

   1. x < -1/2
   2. -1/2 < x < 1
   3. 1 < x < 3
   4. x > 3

   চিহ্ন পরীক্ষা:

   • x < -1/2 হলে: তিনটি উৎপাদকই ঋণাত্মক, গুণফল (-) * (-) * (-) = (-) ≤ 0 (শর্ত পূরণ করে)।
   • -1/2 < x < 1 হলে: একটি ধনাত্মক ও দুটি ঋণাত্মক, গুণফল (+) * (-) * (-) = (+) > 0।
   • 1 < x < 3 হলে: দুটি ধনাত্মক ও একটি ঋণাত্মক, গুণফল (+) * (+) * (-) = (-) ≤ 0 (শর্ত পূরণ করে)।
   • x > 3 হলে: তিনটি উৎপাদকই ধনাত্মক, গুণফল (+) * (+) * (+) = (+) > 0।

   এছাড়া প্রান্তবিন্দু x = -1/2, 1, 3 তে রাশির মান শূন্য হয়, যা অসমতাকে সিদ্ধ করে।
   অতএব, নির্ণেয় সমাধান: x ≤ -1/2 অথবা 1 ≤ x ≤ 3।
   ব্যবধি আকারে: x ∈ (-∞, -1/2] ∪ [1, 3]।

   সংখ্যারেখায় প্রদর্শন:
   <====●---------------●========●----------->
   -1/2 1 3
   (-1/2 এবং তার বামের সকল বিন্দু এবং 1 থেকে 3 পর্যন্ত অংশ চিহ্নিত বা ভরাট করা বৃত্ত দ্বারা দেখানো হলো)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, দৈনিক ন্যূনতম প্রয়োজন মেটাতে M খাবার x কেজি এবং N খাবার y কেজি ক্রয় করতে হবে (যেখানে x ≥ 0, y ≥ 0)।

   উদ্দেশ্য ফাংশন (মোট খরচ সর্বনিম্নকরণ):
   Z = 20x + 30y

   শর্তসমূহ:
   প্রোটিনের শর্ত: 2x + 6y ≥ 36 => x + 3y ≥ 18 ... (1)
   ফ্যাটের শর্ত: 4x + 3y ≥ 48 ... (2)
   অঋণাত্মক শর্ত: x ≥ 0, y ≥ 0

   সমীকরণদ্বয়:
   x + 3y = 18 ... (3)
   4x + 3y = 48 ... (4)

   (3) নং রেখাটি অক্ষদ্বয়কে (18, 0) ও (0, 6) বিন্দুতে ছেদ করে।
   (4) নং রেখাটি অক্ষদ্বয়কে (12, 0) ও (0, 16) বিন্দুতে ছেদ করে।

   (4) থেকে (3) বিয়োগ করে পাই:
   3x = 30 => x = 10
   x = 10 সমীকরণ (3)-এ বসিয়ে পাই:
   10 + 3y = 18 => 3y = 8 => y = 8/3
   সুতরাং রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু B(10, 8/3)।

   যেহেতু অসমতাগুলো ≥ চিহ্নের, তাই সমাধান অঞ্চলটি প্রথম চতুর্ভাগে উন্মুক্ত এলাকা, যার শীর্ষবিন্দুগুলো হলো:
   A(18, 0), B(10, 8/3), এবং C(0, 16)।

   শীর্ষবিন্দুগুলোতে Z = 20x + 30y এর মান নির্ণয়:

   • A(18, 0) বিন্দুতে: Z = 20(18) + 30(0) = 360 টাকা
   • B(10, 8/3) বিন্দুতে: Z = 20(10) + 30(8/3) = 200 + 80 = 280 টাকা
   • C(0, 16) বিন্দুতে: Z = 20(0) + 30(16) = 480 টাকা

   যেহেতু 20x + 30y < 280 বা 2x + 3y < 28 এলাকার সাথে কার্যকর অঞ্চলের কোনো সাধারণ বিন্দু নেই, তাই Z-এর সর্বনিম্ন মান 280 টাকা।

   অতএব, সবচেয়ে কম খরচে দৈনিক ন্যূনতম প্রয়োজন মেটানোর জন্য M খাবার 10 কেজি এবং N খাবার 8/3 (বা 2⅔) কেজি ক্রয় করতে হবে এবং এতে ন্যূনতম খরচ হবে 280 টাকা।