উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০২৫
উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন
দৃশ্যকল্প-১: ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 এবং cx2+bx+a=0cx^2 + bx + a = 0. দৃশ্যকল্প-২: x=pω2+q+rωx = p\omega^2 + q + r\omega, y=pω+q+rω2y = p\omega + q + r\omega^2 যেখানে ω\omega এককের জটিল ঘনমূল দুইটির একটি।
- ক)(2)
বাস্তব সহগবিশিষ্ট একটি দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন কর যার একটি মূল 3+2i3+ 2i।
- খ)(4)
যদি দৃশ্যকল্প-১ এর সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকে, তাহলে দেখাও যে, (c+a)2=b(c + a)^2 = b.
- গ)(4)
দৃশ্যকল্প-২ এ যদি x3+y3=0x^3 + y^3 = 0 হয় তবে প্রমাণ কর যে, 2p=q+r2p = q + rঅথবা, 2q=r+p2q=r+p অথবা, 2r=p+q2r=p+q.
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।
স্পষ্ট অনুমান: খ-অংশে প্রদর্শিত সমীকরণটি পাঠ্যবই ও বোর্ড পরীক্ষার প্রমিত প্রশ্ন অনুসারে (c + a)^2 = b^2 অথবা c + a = \pm b হবে; প্রশ্নে মুদ্রিত (c + a)^2 = b-কে টাইপো হিসেবে ধরে প্রমাণ সম্পন্ন করা হয়েছে।
একটি মূল 3 + 2i হলে বাস্তব সহগবিশিষ্ট হওয়ায় অপর মূলটি হবে 3 - 2i।
মূলদ্বয়ের যোগফল = 6 এবং গুণফল = 3^2 - (2i)^2 = 9 + 4 = 13।
নির্ণেয় সমীকরণটি: x^2 - 6x + 13 = 0। - খ)
AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।
স্পষ্ট অনুমান: খ-অংশে প্রদর্শিত সমীকরণটি পাঠ্যবই ও বোর্ড পরীক্ষার প্রমিত প্রশ্ন অনুসারে (c + a)^2 = b^2 অথবা c + a = \pm b হবে; প্রশ্নে মুদ্রিত (c + a)^2 = b-কে টাইপো হিসেবে ধরে প্রমাণ সম্পন্ন করা হয়েছে।
ধরি সাধারণ মূলটি \alpha। সমীকরণদ্বয় সিদ্ধ করে বিয়োগ ও বজ্ৰগুণন করলে পাওয়া যায় \alpha = \pm 1 এবং \alpha = -\frac{c+a}{b}।
সুতরাং, -\frac{c+a}{b} = \pm 1 \implies c + a = \pm b \implies (c + a)^2 = b^2।
(প্রশ্নপত্রে উল্লিখিত (c + a)^2 = b মূলত (c + a)^2 = b^2 এর মুদ্রণত্রুটি)। - গ)
AI-লিখিত অনুমানভিত্তিক উত্তর—ধারণা ও সীমাবদ্ধতা নিচে উল্লেখ করা হয়েছে। এটি উৎসের যাচাইকৃত মূল উত্তর হিসেবে দাবি করা হচ্ছে না।
স্পষ্ট অনুমান: খ-অংশে প্রদর্শিত সমীকরণটি পাঠ্যবই ও বোর্ড পরীক্ষার প্রমিত প্রশ্ন অনুসারে (c + a)^2 = b^2 অথবা c + a = \pm b হবে; প্রশ্নে মুদ্রিত (c + a)^2 = b-কে টাইপো হিসেবে ধরে প্রমাণ সম্পন্ন করা হয়েছে।
x^3 + y^3 = (x + y)(x + \omega y)(x + \omega^2 y) = 0।
মান বসিয়ে পাই:
x + y = 2q - p - r
x + \omega y = \omega^2(2p - q - r)
x + \omega^2 y = \omega(2r - p - q)
যেহেতু গুণফল শূন্য এবং \omega \neq 0, সুতরাং 2p = q + r অথবা 2q = r + p অথবা 2r = p + q। (প্রমাণিত)
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও