উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত সমীকরণ: $2x^2 + y^2 = 1$
   বা, $\frac{x^2}{\frac{1}{2}} + \frac{y^2}{1} = 1$
   বা, $\frac{x^2}{(1/\sqrt{2})^2} + \frac{y^2}{1^2} = 1$

   এখানে, $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ এবং $b = 1$।
   যেহেতু $b > a$, তাই উপবৃত্তটির বৃহৎ অক্ষ $y$-অক্ষ বরাবর অবস্থিত।

   অতএব, বৃহৎ অক্ষের সমীকরণ: $x = 0$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক অনুসারে, উপবৃত্তের কেন্দ্র $D(3, 0)$।
   যেহেতু বৃহৎ অক্ষ $x$-অক্ষ বরাবর (বা $x$-অক্ষের উপর অবস্থিত), তাই উপবৃত্তটির সমীকরণ ধরা যাক:
   $\frac{(x - 3)^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

   উপবৃত্তটি $A(-2, 0)$ বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে। সুতরাং,
   $\frac{(-2 - 3)^2}{a^2} + \frac{0^2}{b^2} = 1 \implies \frac{25}{a^2} = 1 \implies a^2 = 25$

   আবার, উপবৃত্তটি $B(0, 2)$ বিন্দু দিয়ে যায়। সুতরাং,
   $\frac{(0 - 3)^2}{a^2} + \frac{2^2}{b^2} = 1$
   $\implies \frac{9}{25} + \frac{4}{b^2} = 1$
   $\implies \frac{4}{b^2} = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$
   $\implies b^2 = \frac{4 \times 25}{16} = \frac{25}{4}$

   যেহেতু $a^2 = 25$ এবং $b^2 = \frac{25}{4}$, তাই $a > b$।
   সুতরাং, উৎকেন্দ্রিকতা $e$ হবে:
   $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{\frac{25}{4}}{25}} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

   অতএব, নির্ণেয় উৎকেন্দ্রিকতা $\frac{\sqrt{3}}{2}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   চিত্র অনুসারে, $A(-2, 0)$ এবং $B(0, 2)$।
   $AB$ সরলরেখার সমীকরণ:
   $\frac{x}{-2} + \frac{y}{2} = 1 \implies -x + y = 2 \implies x - y + 2 = 0$

   চিত্রানুযায়ী, $OC \perp AB$ এবং $O$ হলো মূলবিন্দু $(0, 0)$।
   যেহেতু $OC$ রেখাটি $AB$ রেখার উপর লম্ব এবং মূলবিন্দুগামী, তাই $OC$-এর সমীকরণ:
   $x + y = 0$

   $C$ হলো $AB$ ও $OC$ রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু।
   সমীকরণদ্বয় সমাধান করে পাই:
   $x - y = -2$
   $x + y = 0$
   যোগ করে, $2x = -2 \implies x = -1$
   এবং $y = -x = 1$
   অতএব, শীর্ষবিন্দু $C(-1, 1)$ এবং উপকেন্দ্র $S = O(0, 0)$।

   অক্ষের সমীকরণ (যা শীর্ষ ও উপকেন্দ্রগামী):
   $C(-1, 1)$ ও $O(0, 0)$ বিন্দুগামী রেখার সমীকরণ:
   $\frac{y - 0}{x - 0} = \frac{1 - 0}{-1 - 0} = -1 \implies x + y = 0$

   শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ:
   অক্ষরেখা $x + y = 0$-এর উপর লম্ব এবং $C(-1, 1)$ বিন্দুগামী রেখার সমীকরণ:
   $x - y + k = 0$
   যেহেতু এটি $(-1, 1)$ দিয়ে যায়:
   $-1 - 1 + k = 0 \implies k = 2$
   অতএব, শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শক হলো: $x - y + 2 = 0$ ($AB$ রেখাটিই শীর্ষবিন্দুতে স্পর্শক)।

   ধরি, পরাবৃত্তের নিয়ামকরেখার সমীকরণ: $x - y + k' = 0$।
   শীর্ষবিন্দু $C(-1, 1)$ হলো উপকেন্দ্র $O(0, 0)$ এবং নিয়ামকের সাথে অক্ষের ছেদবিন্দু $Z(x_1, y_1)$-এর মধ্যবিন্দু।
   অতএব,
   $\frac{x_1 + 0}{2} = -1 \implies x_1 = -2$
   $\frac{y_1 + 0}{2} = 1 \implies y_1 = 2$
   সুতরাং, $Z(-2, 2)$।
   যেহেতু নিয়ামকরেখাটি $Z(-2, 2)$ বিন্দুগামী:
   $-2 - 2 + k' = 0 \implies k' = 4$
   অতএব, নিয়ামকরেখার সমীকরণ: $x - y + 4 = 0$।

   পরাবৃত্তের উপরিস্থ যেকোনো বিন্দু $P(x, y)$ হলে পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, $SP = PM$:
   $\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2} = \frac{|x - y + 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}$
   $\implies x^2 + y^2 = \frac{(x - y + 4)^2}{2}$
   $\implies 2(x^2 + y^2) = x^2 + y^2 + 16 - 2xy + 8x - 8y$
   $\implies x^2 + 2xy + y^2 - 8x + 8y - 16 = 0$
   বা, $(x + y)^2 - 8(x - y + 2) = 0$।

   অতএব, নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ: $x^2 + 2xy + y^2 - 8x + 8y - 16 = 0$।