উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প: x3+qx+r=0x^3 + qx + r = 0 সমীকরণের মূলগুলো α,β,γ\alpha, \beta, \gamma

  1. ক)

    3x2−mx+25=03x^2 - mx + 25 = 0 সমীকরণের একটি মূল অপরটির তিনগুণ হলে mm এর মান কত?

    (2)
  2. খ)

    দেখাও যে, (β−γ)2=3r−qαα(\beta-\gamma)^2 = \frac{3r-q\alpha}{\alpha}

    (4)
  3. গ)

    β+γα3,γ+αβ3,α+βγ3\frac{\beta+\gamma}{\alpha^3}, \frac{\gamma+\alpha}{\beta^3}, \frac{\alpha+\beta}{\gamma^3} মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, 3x2−mx+25=03x^2 - mx + 25 = 0
    ধরি, সমীকরণের মূলদ্বয় α1\alpha_1 এবং 3α13\alpha_1।

    মূলদ্বয়ের যোগফল:
    α1+3α1=−−m3  ⟹  4α1=m3  ⟹  α1=m12\alpha_1 + 3\alpha_1 = -\frac{-m}{3} \implies 4\alpha_1 = \frac{m}{3} \implies \alpha_1 = \frac{m}{12}

    মূলদ্বয়ের গুণফল:
    α1⋅3α1=253  ⟹  3α12=253  ⟹  α12=259  ⟹  α1=±53\alpha_1 \cdot 3\alpha_1 = \frac{25}{3} \implies 3\alpha_1^2 = \frac{25}{3} \implies \alpha_1^2 = \frac{25}{9} \implies \alpha_1 = \pm \frac{5}{3}

    অতএব,
    m12=±53  ⟹  m=±20\frac{m}{12} = \pm \frac{5}{3} \implies m = \pm 20
    নির্ণেয় মান: m=±20m = \pm 20

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    x3+qx+r=0x^3 + qx + r = 0 সমীকরণের মূলগুলো α,β,γ\alpha, \beta, \gamma হওয়ায়:
    α+β+γ=0  ⟹  β+γ=−α\alpha + \beta + \gamma = 0 \implies \beta + \gamma = -\alpha
    αβγ=−r  ⟹  βγ=−rα\alpha\beta\gamma = -r \implies \beta\gamma = -\frac{r}{\alpha}

    যেহেতু α\alpha সমীকরণটির একটি মূল:
    α3+qα+r=0  ⟹  α3=−qα−r\alpha^3 + q\alpha + r = 0 \implies \alpha^3 = -q\alpha - r

    এখন,
    (β−γ)2=(β+γ)2−4βγ(\beta - \gamma)^2 = (\beta + \gamma)^2 - 4\beta\gamma
    =(−α)2−4(−rα)=α2+4rα=α3+4rα= (-\alpha)^2 - 4\left(-\frac{r}{\alpha}\right) = \alpha^2 + \frac{4r}{\alpha} = \frac{\alpha^3 + 4r}{\alpha}
    =−qα−r+4rα=3r−qαα= \frac{-q\alpha - r + 4r}{\alpha} = \frac{3r - q\alpha}{\alpha}
    (দেখানো হলো)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    যেহেতু α+β+γ=0\alpha + \beta + \gamma = 0, তাই:
    β+γα3=−1α2,γ+αβ3=−1β2,α+βγ3=−1γ2\frac{\beta+\gamma}{\alpha^3} = -\frac{1}{\alpha^2}, \quad \frac{\gamma+\alpha}{\beta^3} = -\frac{1}{\beta^2}, \quad \frac{\alpha+\beta}{\gamma^3} = -\frac{1}{\gamma^2}

    ধরি, y=−1x2  ⟹  x2=−1yy = -\frac{1}{x^2} \implies x^2 = -\frac{1}{y}।
    প্রদত্ত সমীকরণ:
    x(x2+q)=−rx(x^2 + q) = -r
    বর্গ করে পাই,
    x2(x2+q)2=r2x^2(x^2 + q)^2 = r^2
    x^2 = -\frac{1}{y}$ বসিয়ে, -\frac{1}{y}\left(-\frac{1}{y} + q\right)^2 = r^2 \implies -\frac{(qy - 1)^2}{y^3} = r^2 \implies r^2y^3 + q^2y^2 - 2qy + 1 = 0চলক $x$-এ লিখলে সমীকরণটি হয়:r^2x^3 + q^2x^2 - 2qx + 1 = 0$$

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন