উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   সম্পূরক সমাবেশ (Complementary Combination): n-সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে প্রতিবার r-সংখ্যক বস্তু নিয়ে যতগুলো দল বা সমাবেশ গঠন করা যায়, ঠিক ততগুলো উপায়েই প্রতিবার (n - r)-সংখ্যক বস্তু বাদ দিয়ে সমাবেশ গঠন করা যায়। গাণিতিকভাবে, nCr = nC(n-r)। একে সম্পূরক সমাবেশ বলা হয়।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   'THESIS' শব্দটিতে মোট বর্ণ রয়েছে 6টি।
   এখানে বর্ণগুলোর মধ্যে E = 1টি, I = 1টি (মোট স্বরবর্ণ 2টি) এবং T = 1টি, H = 1টি, S = 2টি (মোট ব্যঞ্জনবর্ণ 4টি)।

   কোনো শর্ত ছাড়া 6টি বর্ণকে সাজানোর মোট উপায় = 6! / 2! = 720 / 2 = 360 টি।

   স্বরবর্ণ 2টি (E, I)-কে একত্রে একটি বর্ণ বিবেচনা করলে মোট বর্ণ হয় (4 + 1) = 5টি, যেখানে 2টি 'S' আছে।
   এদের সাজানো যায় = 5! / 2! = 120 / 2 = 60 উপায়ে।
   আবার, স্বরবর্ণ 2টি নিজেদের মধ্যে 2! = 2 উপায়ে সাজতে পারে।
   সুতরাং, স্বরবর্ণগুলো একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 60 × 2 = 120 টি।

   অতএব, স্বরবর্ণগুলো একত্রে না রেখে সাজানোর সংখ্যা = 360 - 120 = 240 টি।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   'THESIS' শব্দটিতে বর্ণ রয়েছে 6টি, যার মধ্যে T, H, E, I একটি করে (4টি ভিন্ন বর্ণ) এবং S রয়েছে 2টি (একই জাতীয়)।

   4টি করে বর্ণ নিয়ে সমাবেশ নিম্নোক্ত ক্ষেত্রগুলোতে গঠিত হতে পারে:

   ১ম ক্ষেত্র: 4টি বর্ণই ভিন্ন ভিন্ন হলে:
   ভিন্ন ভিন্ন 5টি বর্ণ (T, H, E, I, S) থেকে 4টি বেছে নেওয়ার উপায় = ⁵C₄ = 5টি।

   ২য় ক্ষেত্র: 2টি বর্ণ একই (S, S) এবং বাকি 2টি বর্ণ ভিন্ন হলে:
   একই জাতীয় বর্ণজোড়া থেকে 'SS' নির্বাচন করা যায় 1 উপায়ে।
   বাকি 4টি ভিন্ন বর্ণ (T, H, E, I) হতে 2টি নির্বাচন করার উপায় = ⁴C₂ = 6টি।
   সুতরাং এই ক্ষেত্রে সমাবেশের সংখ্যা = 1 × ⁶ = 6টি।

   অতএব, মোট সমাবেশ সংখ্যা = 5 + 6 = 11 টি। (দেখানো হলো)