উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

△ABC \triangle ABC এর BC, CA ও AB বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a, b ও c.

  1. ক)

    প্রমাণ কর যে, a+ba−b=tanA+B2cotA−B2 \frac{a+b}{a-b} = tan\frac{A+B}{2} cot\frac{A-B}{2} .

    (2)
  2. খ)

    C=π2 C=\frac{\pi}{2} হলে, দেখাও যে, (1+tanA2)(1+tanB2)=2 \left(1+tan\frac{A}{2}\right) \left(1+tan\frac{B}{2}\right) = 2 .

    (4)
  3. গ)

    ∠B=45∘ \angle B = 45^\circ , ∠C=60∘ \angle C = 60^\circ এবং a=3+1 a = \sqrt{3}+1 সে.মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    সাইন সূত্র অনুযায়ী,
    asin⁡A=bsin⁡B=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R
    ⇒a=2Rsin⁡A\Rightarrow a = 2R\sin A এবং b=2Rsin⁡Bb = 2R\sin B

    বামপক্ষ =a+ba−b=2Rsin⁡A+2Rsin⁡B2Rsin⁡A−2Rsin⁡B=sin⁡A+sin⁡Bsin⁡A−sin⁡B= \frac{a+b}{a-b} = \frac{2R\sin A + 2R\sin B}{2R\sin A - 2R\sin B} = \frac{\sin A + \sin B}{\sin A - \sin B}
    =2sin⁡A+B2cos⁡A−B22cos⁡A+B2sin⁡A−B2= \frac{2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}}{2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}}
    =sin⁡A+B2cos⁡A+B2⋅cos⁡A−B2sin⁡A−B2= \frac{\sin\frac{A+B}{2}}{\cos\frac{A+B}{2}} \cdot \frac{\cos\frac{A-B}{2}}{\sin\frac{A-B}{2}}
    =tan⁡A+B2cot⁡A−B2== \tan\frac{A+B}{2} \cot\frac{A-B}{2} = ডানপক্ষ। (প্রমাণিত)

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, C=π2C = \frac{\pi}{2}
    ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি, A+B+C=πA + B + C = \pi
    ⇒A+B=π−C=π−π2=π2\Rightarrow A + B = \pi - C = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}
    ⇒A2+B2=π4\Rightarrow \frac{A}{2} + \frac{B}{2} = \frac{\pi}{4}

    উভয়পক্ষে tan⁡\tan নিয়ে পাই:
    tan⁡(A2+B2)=tan⁡π4=1\tan\left(\frac{A}{2} + \frac{B}{2}\right) = \tan\frac{\pi}{4} = 1
    ⇒tan⁡A2+tan⁡B21−tan⁡A2tan⁡B2=1\Rightarrow \frac{\tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2}}{1 - \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}} = 1
    ⇒tan⁡A2+tan⁡B2=1−tan⁡A2tan⁡B2\Rightarrow \tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2} = 1 - \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}
    ⇒tan⁡A2+tan⁡B2+tan⁡A2tan⁡B2=1\Rightarrow \tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2} + \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2} = 1
    উভয়পক্ষে 11 যোগ করে পাই:
    1+tan⁡A2+tan⁡B2+tan⁡A2tan⁡B2=1+11 + \tan\frac{A}{2} + \tan\frac{B}{2} + \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2} = 1 + 1
    ⇒(1+tan⁡A2)+tan⁡B2(1+tan⁡A2)=2\Rightarrow \left(1 + \tan\frac{A}{2}\right) + \tan\frac{B}{2}\left(1 + \tan\frac{A}{2}\right) = 2
    ⇒(1+tan⁡A2)(1+tan⁡B2)=2\Rightarrow \left(1 + \tan\frac{A}{2}\right)\left(1 + \tan\frac{B}{2}\right) = 2। (দেখানো হলো)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, ∠B=45∘\angle B = 45^\circ, ∠C=60∘\angle C = 60^\circ, a=3+1a = \sqrt{3} + 1 সে.মি.

    আমরা জানি, ∠A+∠B+∠C=180∘\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ
    ⇒∠A=180∘−(45∘+60∘)=180∘−105∘=75∘\Rightarrow \angle A = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ

    এখন,
    sin⁡75∘=sin⁡(45∘+30∘)=sin⁡45∘cos⁡30∘+cos⁡45∘sin⁡30∘\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ
    =12⋅32+12⋅12=3+122= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}

    ত্রিভুজের সাইন সূত্র হতে,
    asin⁡A=bsin⁡B\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}
    ⇒b=asin⁡Bsin⁡A=(3+1)sin⁡45∘sin⁡75∘=(3+1)⋅123+122=3+123+122=2\Rightarrow b = \frac{a \sin B}{\sin A} = \frac{(\sqrt{3} + 1) \sin 45^\circ}{\sin 75^\circ} = \frac{(\sqrt{3} + 1) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}} = 2 সে.মি.

    ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল:
    Δ=12absin⁡C\Delta = \frac{1}{2} a b \sin C
    =12×(3+1)×2×sin⁡60∘= \frac{1}{2} \times (\sqrt{3} + 1) \times 2 \times \sin 60^\circ
    =(3+1)×32= (\sqrt{3} + 1) \times \frac{\sqrt{3}}{2}
    =3+32= \frac{3 + \sqrt{3}}{2} বর্গ সে.মি. (বা প্রায় 2.3662.366 বর্গ সে.মি.)।

    অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 3+32\frac{3 + \sqrt{3}}{2} বর্গ সে.মি.।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন