উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Dhaka Board • ঢাকা বোর্ড ২০২১

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

g(x)=cos⁡x;h(x)=sin⁡x. g(x) = \cos x; h(x) = \sin x.

  1. ক)

    cos⁡2θ+sin⁡θ=1 \cos 2\theta + \sin \theta = 1 এর সাধারণ সমাধান বের কর।

    (2)
  2. খ)

    উদ্দীপকের আলোকে 3g(θ)+g(π2−θ)=1 \sqrt{3}g(\theta) + g\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = 1 সমীকরণটি সমাধান কর। যখন 0<θ<2π. 0 < \theta < 2\pi.

    (4)
  3. গ)

    g{πh(θ)}=h{πg(θ)} g{\pi h(\theta)} = h{\pi g(\theta)} হলে দেখাও যে, θ=±π4+tan⁡−17 \theta = \pm \frac{\pi}{4} + \tan^{-1} \sqrt{7}

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত সমীকরণ: cos⁡2θ+sin⁡θ=1\cos 2\theta + \sin \theta = 1
      ⟹  1−2sin⁡2θ+sin⁡θ=1\implies 1 - 2\sin^2 \theta + \sin \theta = 1
      ⟹  sin⁡θ−2sin⁡2θ=0\implies \sin \theta - 2\sin^2 \theta = 0
      ⟹  sin⁡θ(1−2sin⁡θ)=0\implies \sin \theta (1 - 2\sin \theta) = 0

    হয় sin⁡θ=0  ⟹  θ=nπ\sin \theta = 0 \implies \theta = n\pi, যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z}

    অথবা, 1−2sin⁡θ=01 - 2\sin \theta = 0
      ⟹  sin⁡θ=12=sin⁡π6\implies \sin \theta = \frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}
      ⟹  θ=nπ+(−1)nπ6\implies \theta = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{6}, যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z}

    নির্ণেয় সাধারণ সমাধান: θ=nπ\theta = n\pi অথবা θ=nπ+(−1)nπ6\theta = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{6}, যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z}।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, g(x)=cos⁡xg(x) = \cos x
    তাহলে, g(θ)=cos⁡θg(\theta) = \cos \theta এবং g(π2−θ)=cos⁡(π2−θ)=sin⁡θg\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin \theta

    প্রদত্ত সমীকরণ:
    3g(θ)+g(π2−θ)=1\sqrt{3}g(\theta) + g\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = 1
      ⟹  3cos⁡θ+sin⁡θ=1\implies \sqrt{3}\cos \theta + \sin \theta = 1

    উভয়পক্ষকে (3)2+12=2\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2 দ্বারা ভাগ করে পাই,
    32cos⁡θ+12sin⁡θ=12\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta + \frac{1}{2}\sin \theta = \frac{1}{2}
      ⟹  cos⁡θcos⁡π6+sin⁡θsin⁡π6=cos⁡π3\implies \cos \theta \cos \frac{\pi}{6} + \sin \theta \sin \frac{\pi}{6} = \cos \frac{\pi}{3}
      ⟹  cos⁡(θ−π6)=cos⁡π3\implies \cos\left(\theta - \frac{\pi}{6}\right) = \cos \frac{\pi}{3}
      ⟹  θ−π6=2nπ±π3\implies \theta - \frac{\pi}{6} = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}
      ⟹  θ=2nπ±π3+π6\implies \theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}

    যেহেতু 0<θ<2π0 < \theta < 2\pi:
    n=0n = 0 হলে,
    θ=π3+π6=π2\theta = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}
    θ=−π3+π6=−π6\theta = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} (গ্রহণযোগ্য নয়)

    n=1n = 1 হলে,
    θ=2π+π3+π6=5π2\theta = 2\pi + \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{2} (গ্রহণযোগ্য নয়)
    θ=2π−π3+π6=11π6\theta = 2\pi - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}

    অতএব, নির্ণেয় সমাধান: θ=π2,11π6\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, g(x)=cos⁡xg(x) = \cos x এবং h(x)=sin⁡xh(x) = \sin x
    ∴g{πh(θ)}=h{πg(θ)}\therefore g\{\pi h(\theta)\} = h\{\pi g(\theta)\}
      ⟹  cos⁡(πsin⁡θ)=sin⁡(πcos⁡θ)\implies \cos(\pi \sin \theta) = \sin(\pi \cos \theta)
      ⟹  cos⁡(πsin⁡θ)=cos⁡(π2∓πcos⁡θ)\implies \cos(\pi \sin \theta) = \cos\left(\frac{\pi}{2} \mp \pi \cos \theta\right)
      ⟹  πsin⁡θ=2nπ±(π2−πcos⁡θ)\implies \pi \sin \theta = 2n\pi \pm \left(\frac{\pi}{2} - \pi \cos \theta\right)

    নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে, n=0n = 0 এবং ধনাত্মক চিহ্নের জন্য:
    πsin⁡θ+πcos⁡θ=π2\pi \sin \theta + \pi \cos \theta = \frac{\pi}{2}
      ⟹  cos⁡θ+sin⁡θ=12\implies \cos \theta + \sin \theta = \frac{1}{2}

    উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,
    (cos⁡θ+sin⁡θ)2=14(\cos \theta + \sin \theta)^2 = \frac{1}{4}
      ⟹  cos⁡2θ+sin⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ=14\implies \cos^2 \theta + \sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4}
      ⟹  1+sin⁡2θ=14  ⟹  sin⁡2θ=−34\implies 1 + \sin 2\theta = \frac{1}{4} \implies \sin 2\theta = -\frac{3}{4}

    আবার, cos⁡θ+sin⁡θ=12\cos \theta + \sin \theta = \frac{1}{2}
      ⟹  2(12cos⁡θ+12sin⁡θ)=12\implies \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \theta + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin \theta\right) = \frac{1}{2}
      ⟹  cos⁡(θ−π4)=122\implies \cos\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2\sqrt{2}}

    সমকোণী ত্রিভুজ থেকে, ভূমি =1= 1, অতিভুজ =22= 2\sqrt{2}
    ∴\therefore লম্ব =(22)2−12=8−1=7= \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 1^2} = \sqrt{8 - 1} = \sqrt{7}
    তাহলে, tan⁡(θ−π4)=±7\tan\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) = \pm \sqrt{7}
      ⟹  θ−π4=tan⁡−1(±7)=±tan⁡−17\implies \theta - \frac{\pi}{4} = \tan^{-1}(\pm \sqrt{7}) = \pm \tan^{-1}\sqrt{7}
      ⟹  θ=π4±tan⁡−17\implies \theta = \frac{\pi}{4} \pm \tan^{-1}\sqrt{7}
    (অনুরূপভাবে সাধারণ সমাধান থেকে θ=±π4+tan⁡−17\theta = \pm \frac{\pi}{4} + \tan^{-1}\sqrt{7} দেখানো যায়)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন