উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে, $A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 3 & M \end{bmatrix}$

   আমরা জানি, কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের ভুক্তিগুলোর যোগফলকে ম্যাট্রিক্সটির ট্রেস (Trace) বলা হয়।
   অতএব, $A$ ম্যাট্রিক্সের ট্রেস $= 4 + M$

   প্রশ্নমতে,
   $4 + M = 5$
   $\implies M = 5 - 4 = 1$

   নির্ণেয় মান $M = 1$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $|B| = \begin{vmatrix} p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \\ p^3 - 1 & q^3 - 1 & r^3 - 1 \end{vmatrix}$

   নির্ণায়কের ধর্মাবলম্বনে তৃতীয় সারিকে ভেঙে পাই:
   $|B| = \begin{vmatrix} p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \\ p^3 & q^3 & r^3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \\ -1 & -1 & -1 \end{vmatrix}$

   প্রথম নির্ণায়কের প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় কলাম থেকে যথাক্রমে $p, q, r$ সাধারণ নিলে:
   $|B| = pqr \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

   দ্বিতীয় নির্ণায়কে সারি বিনিময় করে:
   $R_3 \leftrightarrow R_1$ করলে চিহ্নের পরিবর্তন হয়, আবার $R_2 \leftrightarrow R_3$ করলে চিহ্নের পরিবর্তন বাতিল হয়ে পূর্বের ন্যায় হয়:
   $\begin{vmatrix} p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ p^2 & q^2 & r^2 \\ p & q & r \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \end{vmatrix}$

   অতএব,
   $|B| = pqr \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \end{vmatrix}$
   $= (pqr - 1) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ p & q & r \\ p^2 & q^2 & r^2 \end{vmatrix}$

   এখন কলাম রূপান্তর প্রয়োগ করি: $C_1' = C_1 - C_2$ এবং $C_2' = C_2 - C_3$:
   $= (pqr - 1) \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ p - q & q - r & r \\ p^2 - q^2 & q^2 - r^2 & r^2 \end{vmatrix}$
   $= (pqr - 1) (p - q)(q - r) \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & r \\ p + q & q + r & r^2 \end{vmatrix}$

   প্রথম সারির সাপেক্ষে বিস্তার করে:
   $= (pqr - 1)(p - q)(q - r) [1 \cdot \{(q + r) - (p + q)\}]$
   $= (pqr - 1)(p - q)(q - r)(r - p)$

   অতএব, $|B| = (pqr - 1)(p - q)(q - r)(r - p)$ (দেখানো হলো)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   দেওয়া আছে,
   $C = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

   প্রথমে $|C|$ এর মান নির্ণয় করি:
   $|C| = 0 \cdot (2 - 3) - 1 \cdot (1 - 9) + 2 \cdot (1 - 6)$
   $= 0 - 1(-8) + 2(-5) = 8 - 10 = -2 \neq 0$
   যেহেতু $|C| \neq 0$, সুতরাং $C^{-1}$ বিদ্যমান।

   এখন $C$ এর সহগুণকসমূহ (Cofactors) নির্ণয় করি:
   $C_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 3 = -1$
   $C_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 9) = 8$
   $C_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 6 = -5$

   $C_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 2) = 1$
   $C_{22} = +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 0 - 6 = -6$
   $C_{23} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -(0 - 3) = 3$

   $C_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 4 = -1$
   $C_{32} = -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -(0 - 2) = 2$
   $C_{33} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 0 - 1 = -1$

   সহগুণক ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ হলো $\text{adj}(C)$:
   $\text{adj}(C) = \begin{bmatrix} -1 & 8 & -5 \\ 1 & -6 & 3 \\ -1 & 2 & -1 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -5 & 3 & -1 \end{bmatrix}$

   অতএব, বিপরীত ম্যাট্রিক্স:
   $C^{-1} = \frac{1}{|C|} \text{adj}(C) = -\frac{1}{2} \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -5 & 3 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -4 & 3 & -1 \\ \frac{5}{2} & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$