গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণ:
$x^2 - 9x + 8 = 0$
$\implies (x - 1)(x - 8) = 0$
$\implies x = 1$ অথবা $x = 8$

প্রশ্নমতে, এই সমীকরণের একটি মূল হলো প্রদত্ত রাশিটি (যেখানে গুণোত্তর ধারাটি $\sin^2 x + \sin^4 x + \sin^6 x + \dots$):
ধরি,
$S = \sin^2 x + \sin^4 x + \sin^6 x + \dots \infty$
যেহেতু $0 < x < \frac{\pi}{2}$, তাই $0 < \sin^2 x < 1$।
অনন্ত গুণোত্তর ধারার সমষ্টি,
$S = \frac{\sin^2 x}{1 - \sin^2 x} = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \tan^2 x$

অতএব,
$\exp(S) \ln 2$ বা $e^{S \ln 2} = e^{\ln (2^S)} = 2^S = 2^{\tan^2 x}$

সমীকরণটির মূলদ্বয় $1$ ও $8$ হওয়ায়,
$2^{\tan^2 x} = 1$ অথবা $2^{\tan^2 x} = 8$

যদি $2^{\tan^2 x} = 1 = 2^0$ হয়,
$\tan^2 x = 0 \implies x = 0$
কিন্তু ব্যবধি $0 < x < \frac{\pi}{2}$ হওয়ায় এটি গ্রহণযোগ্য নয়।

যদি $2^{\tan^2 x} = 8 = 2^3$ হয়,
$\tan^2 x = 3$
যেহেতু $0 < x < \frac{\pi}{2}$, তাই $\tan x > 0$।
$\therefore \tan x = \sqrt{3}$

এখন,
$\frac{\cos x}{\sin x + \cos x} = \frac{\frac{\cos x}{\cos x}}{\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x}} = \frac{1}{\tan x + 1}$
$= \frac{1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

উত্তর: $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$