উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Jashore Board • যশোর বোর্ড ২০২৩

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

i. mx2+nx+n=L\mathrm{mx}^{2}+\mathrm{nx}+\mathrm{n}=\mathrm{L}
ii. S=6x3−20x2+5\mathrm{S}=6 \mathrm{x}^{3}-20 \mathrm{x}^{2}+5 এবং T=6−6x−9x2\mathrm{T}=6-6 \mathrm{x}-9 \mathrm{x}^{2}.

  1. ক)

    একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর যার একটি মূল 12+i3\frac{1}{2+\mathrm{i} 3}.

    (2)
  2. খ)

    যদি L=0\mathrm{L}=0 সমীকরণের মূল দুটির অনুপাত p:q\mathrm{p}: \mathrm{q} হয় তাহলে, প্রমাণ কর যে,  pq+qp+nm=0\sqrt{\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}}+\sqrt{\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{p}}}+\sqrt{\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{m}}}=0.

    (4)
  3. গ)

    যদি S=T\mathrm{S}=\mathrm{T} সমীকরণটির মূলগুলো সমান্তর প্রগমনের গৌণিক বিপরীত প্রগমনভুক্ত হয় তবে x\mathrm{x} এর মান নির্ণয় কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত মূল =12+3i=2−3i(2+3i)(2−3i)=2−3i22−(3i)2=2−3i4+9=2−3i13= \frac{1}{2 + 3i} = \frac{2 - 3i}{(2 + 3i)(2 - 3i)} = \frac{2 - 3i}{2^2 - (3i)^2} = \frac{2 - 3i}{4 + 9} = \frac{2 - 3i}{13}

    বাস্তব সহগবিশিষ্ট সমীকরণের জটিল মূলগুলো যুগলে (অনুবন্ধী আকারে) থাকে।
    অতএব অপর মূলটি হবে =2+3i13= \frac{2 + 3i}{13}

    মূলদ্বয়ের যোগফল =2−3i13+2+3i13=413= \frac{2 - 3i}{13} + \frac{2 + 3i}{13} = \frac{4}{13}
    মূলদ্বয়ের গুণফল =(2−3i13)(2+3i13)=4−9i2169=13169=113= \left(\frac{2 - 3i}{13}\right)\left(\frac{2 + 3i}{13}\right) = \frac{4 - 9i^2}{169} = \frac{13}{169} = \frac{1}{13}

    অতএব, নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো:
    x2−(মূলদ্বয়ের যোগফল)x+(মূলদ্বয়ের গুণফল)=0x^2 - (\text{মূলদ্বয়ের যোগফল})x + (\text{মূলদ্বয়ের গুণফল}) = 0
      ⟹  x2−413x+113=0\implies x^2 - \frac{4}{13}x + \frac{1}{13} = 0
      ⟹  13x2−4x+1=0\implies 13x^2 - 4x + 1 = 0

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপকানুসারে, L=0L = 0
      ⟹  mx2+nx+n=0\implies mx^2 + nx + n = 0

    ধরি, সমীকরণটির মূল দুটি α\alpha ও β\beta।
    প্রশ্নমতে, αβ=pq\frac{\alpha}{\beta} = \frac{p}{q}
    মূলদ্বয়ের সম্পর্ক হতে পাই:
    α+β=−nm\alpha + \beta = -\frac{n}{m}
    αβ=nm\alpha\beta = \frac{n}{m}

    এখন,
    বামপক্ষ =pq+qp+nm= \sqrt{\frac{p}{q}} + \sqrt{\frac{q}{p}} + \sqrt{\frac{n}{m}}
    =αβ+βα+nm= \sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} + \sqrt{\frac{\beta}{\alpha}} + \sqrt{\frac{n}{m}}
    =α+βαβ+nm= \frac{\alpha + \beta}{\sqrt{\alpha\beta}} + \sqrt{\frac{n}{m}}
    =−nmnm+nm= \frac{-\frac{n}{m}}{\sqrt{\frac{n}{m}}} + \sqrt{\frac{n}{m}}
    =−nm+nm=0== -\sqrt{\frac{n}{m}} + \sqrt{\frac{n}{m}} = 0 = ডানপক্ষ।

    ∴pq+qp+nm=0\therefore \sqrt{\frac{p}{q}} + \sqrt{\frac{q}{p}} + \sqrt{\frac{n}{m}} = 0 (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, S=TS = T
      ⟹  6x3−20x2+5=6−6x−9x2\implies 6x^3 - 20x^2 + 5 = 6 - 6x - 9x^2
      ⟹  6x3−11x2+6x−1=0\implies 6x^3 - 11x^2 + 6x - 1 = 0

    প্রশ্নমতে, এই সমীকরণের মূলগুলো সমান্তর প্রগমনের গৌণিক বিপরীত প্রগমনভুক্ত (অর্থাৎ মূলগুলো বিপরীত প্রগমন বা Harmonic Progression-এ আছে)।
    অতএব, x=1yx = \frac{1}{y} বসালে প্রাপ্ত সমীকরণের মূলগুলো সমান্তর প্রগমনভুক্ত (Arithmetic Progression) হবে।

    সমীকরণে x=1yx = \frac{1}{y} বসিয়ে পাই,
    6(1y)3−11(1y)2+6(1y)−1=06\left(\frac{1}{y}\right)^3 - 11\left(\frac{1}{y}\right)^2 + 6\left(\frac{1}{y}\right) - 1 = 0
      ⟹  6y3−11y2+6y−1=0\implies \frac{6}{y^3} - \frac{11}{y^2} + \frac{6}{y} - 1 = 0
    উভয়পক্ষকে −y3-y^3 দ্বারা গুণ করে পাই,
    y3−6y2+11y−6=0y^3 - 6y^2 + 11y - 6 = 0

    ধরি, yy সমীকরণের মূল তিনটি সমান্তর প্রগমনে রয়েছে এবং সেগুলো হলো a−d,a,a+da - d, a, a + d।
    মূলগুলোর যোগফল:
    (a−d)+a+(a+d)=−(−6)=6(a - d) + a + (a + d) = -(-6) = 6
      ⟹  3a=6  ⟹  a=2\implies 3a = 6 \implies a = 2

    যেহেতু a=2a = 2 সমীকরণটির একটি মূল,
    y=2y = 2 বসালে সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।
    এখন সমীকরণটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:
    y3−6y2+11y−6=0y^3 - 6y^2 + 11y - 6 = 0
      ⟹  y2(y−2)−4y(y−2)+3(y−2)=0\implies y^2(y - 2) - 4y(y - 2) + 3(y - 2) = 0
      ⟹  (y−2)(y2−4y+3)=0\implies (y - 2)(y^2 - 4y + 3) = 0
      ⟹  (y−2)(y−1)(y−3)=0\implies (y - 2)(y - 1)(y - 3) = 0
    ∴y=1,2,3\therefore y = 1, 2, 3

    যেহেতু x=1yx = \frac{1}{y},
    সুতরাং xx এর মানসমূহ হবে:
    x=1,12,13x = 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন