পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র • Mymensingh Board • ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৩

পদার্থ বিজ্ঞান ১ম পত্র প্রশ্ন

P→=5i^+3ȷ^−mk^\overrightarrow{\mathrm{P}}=5 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{\jmath}}-\mathrm{m} \hat{\mathrm{k}} ও Q=ı^+ȷ^+4k^Q=\hat{\imath}+\hat{\jmath}+4 \hat{k} । এখানে  P→\overrightarrow{\mathrm{P}} এবং Q→\overrightarrow{\mathrm{Q}} পরস্পর লম্ব।  যদি P→\overrightarrow{\mathrm{P}} এবং Q→\overrightarrow{\mathrm{Q}} এর মান যথাক্রমে নৌকা এবং একটি নদীর স্রোতের দ্রুতি নির্দেশ করে তবে সর্বনিম্ন পথে নদী পার হতে নৌকাটির 2 মিনিট সময় লাগে।

  1. ক)

    সমতলীয় ভেক্টর কাকে বলে?

    (1)
  2. খ)

    স্রোতের সাথে আড়াআড়িভাবে নদী পাড়ি দিতে নৌকা কীভাবে চালাতে হবে-ব্যাখ্যা কর।

    (2)
  3. গ)

    ‘m’ এর মান নির্ণয় কর

    (3)
  4. ঘ)

    যদি নৌকার মাঝি ন্যূনতম সময়ে নদী পার হতে চায় তবে সে নদীর প্রস্থ অপেক্ষা বেশি দূরত্ব অতিক্রম করবে কিনা-গাণিতিক মানের সাহায্যে ব্যাখ্যা কর।

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দুই বা ততোধিক ভেক্টর যদি একই সমতলে অবস্থান করে বা একই সমতলের সমান্তরাল হয়, তবে সেগুলোকে সমতলীয় ভেক্টর বলে।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    স্রোতযুক্ত নদীতে আড়াআড়িভাবে (অর্থাৎ ঠিক বিপরীত পাড়ে পৌঁছানোর জন্য) নৌকা চালাতে হলে নৌকার লব্ধি বেগ স্রোতের বেগের সাথে লম্ব বা 90∘90^\circ কোণে হতে হবে। যদি নদীর স্রোতের বেগ vv এবং নৌকার বেগ uu হয় এবং স্রোতের সাথে α\alpha কোণে নৌকা চালানো হয়, তবে লব্ধি নদীর পাড়ের সাথে লম্ব হওয়ার শর্ত হলো:
    tan⁡90∘=usin⁡αv+ucos⁡α  ⟹  v+ucos⁡α=0  ⟹  cos⁡α=−vu\tan 90^\circ = \frac{u\sin\alpha}{v + u\cos\alpha} \implies v + u\cos\alpha = 0 \implies \cos\alpha = -\frac{v}{u}
    যেহেতু cos⁡α\cos\alpha ঋণাত্মক, তাই α>90∘\alpha > 90^\circ হতে হবে। অর্থাৎ, স্রোতের বেগের বিপরীত উপাংশ যাতে স্রোতকে নিষ্ক্রিয় করতে পারে, সেজন্য স্রোতের সাথে স্থূলকোণে (উজানের দিকে মুখ করে) নৌকা চালাতে হবে।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপকে দেওয়া আছে,
    P⃗=5i^+3j^−mk^\vec{P} = 5\hat{i} + 3\hat{j} - m\hat{k}
    Q⃗=i^+j^+4k^\vec{Q} = \hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}

    যেহেতু P⃗\vec{P} এবং Q⃗\vec{Q} পরস্পর লম্ব, তাদের ডট গুণন শূন্য হবে:
    P⃗⋅Q⃗=0\vec{P} \cdot \vec{Q} = 0
      ⟹  (5)(1)+(3)(1)+(−m)(4)=0\implies (5)(1) + (3)(1) + (-m)(4) = 0
      ⟹  5+3−4m=0\implies 5 + 3 - 4m = 0
      ⟹  8−4m=0\implies 8 - 4m = 0
      ⟹  4m=8\implies 4m = 8
      ⟹  m=2\implies m = 2

    উত্তর: m=2m = 2।

  4. ঘ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ‘গ’ হতে পাই, m=2m = 2
    সুতরাং,
    নৌকার বেগ, u=∣P⃗∣=52+32+(−2)2=25+9+4=38 ms−1≈6.164 ms−1u = |\vec{P}| = \sqrt{5^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 9 + 4} = \sqrt{38}\text{ ms}^{-1} \approx 6.164\text{ ms}^{-1}
    স্রোতের বেগ, v=∣Q⃗∣=12+12+42=1+1+16=18 ms−1≈4.243 ms−1v = |\vec{Q}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18}\text{ ms}^{-1} \approx 4.243\text{ ms}^{-1}

    সর্বনিম্ন পথে নদী পার হতে সময় লাগে t=2 min=120 st = 2\text{ min} = 120\text{ s}
    সর্বনিম্ন পথের ক্ষেত্রে লব্ধি বেগ, w=u2−v2=38−18=20 ms−1≈4.472 ms−1w = \sqrt{u^2 - v^2} = \sqrt{38 - 18} = \sqrt{20}\text{ ms}^{-1} \approx 4.472\text{ ms}^{-1}
    সুতরাং, নদীর প্রস্থ, d=w×t=20×120≈536.66 md = w \times t = \sqrt{20} \times 120 \approx 536.66\text{ m}

    এখন, ন্যূনতম সময়ে নদী পার হতে হলে মাঝিকে স্রোতের সাথে লম্বভাবে (α=90∘\alpha = 90^\circ কোণে) নৌকা চালাতে হবে।
    সেক্ষেত্রে নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময়:
    tmin⁡=du=536.6638≈87.06 st_{\min} = \frac{d}{u} = \frac{536.66}{\sqrt{38}} \approx 87.06\text{ s}

    এই সময়ে নৌকার কার্যকর লব্ধি বেগ হবে:
    w′=u2+v2=38+18=56 ms−1≈7.483 ms−1w' = \sqrt{u^2 + v^2} = \sqrt{38 + 18} = \sqrt{56}\text{ ms}^{-1} \approx 7.483\text{ ms}^{-1}

    অতএব, অতিক্রান্ত মোট দূরত্ব:
    s=w′×tmin⁡=56×d38=d×5638≈536.66×1.214≈651.51 ms = w' \times t_{\min} = \sqrt{56} \times \frac{d}{\sqrt{38}} = d \times \sqrt{\frac{56}{38}} \approx 536.66 \times 1.214 \approx 651.51\text{ m}

    যেহেতু s>ds > d (651.51 m>536.66 m651.51\text{ m} > 536.66\text{ m}),
    সুতরাং মাঝি ন্যূনতম সময়ে নদী পার হতে চাইলে নদীর প্রস্থ অপেক্ষা বেশি দূরত্ব অতিক্রম করবে।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন