উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $-2401=7^4\big(\cos\pi+i\sin\pi\big)$। তাই চতুর্থমূলগুলি

   $\boxed{7\left[\cos\frac{\pi+2k\pi}{4}+i\sin\frac{\pi+2k\pi}{4}\right]},\quad k=0,1,2,3$।

   অর্থাৎ $\frac7{\sqrt2}(1+i),\ \frac7{\sqrt2}(-1+i),\ \frac7{\sqrt2}(-1-i),\ \frac7{\sqrt2}(1-i)$। প্রধান জটিল চতুর্থমূল চাইলে প্রথমটি $\frac7{\sqrt2}(1+i)$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   বিকৃত চিহ্নটিকে $|z+4|+|z-4|=10$ ধরা হচ্ছে। $z=x+iy$ হলে দূরত্ব দুটি যথাক্রমে $(-4,0)$ ও $(4,0)$ বিন্দু থেকে দূরত্ব। দুই নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে দূরত্বের যোগফল ধ্রুব এবং কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্বের চেয়ে বেশি, তাই সঞ্চারপথ একটি উপবৃত্ত।

   এখানে $2a=10\Rightarrow a=5$, $c=4$, ফলে $b^2=a^2-c^2=25-16=9$। কেন্দ্র মূলবিন্দু এবং বৃহৎ অক্ষ $x$-অক্ষ। সুতরাং সমীকরণ $\boxed{\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1}$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   $p^2+p+1=0$ থেকে $\alpha+\beta=-1$ এবং $\alpha\beta=1$। আবার $(p-1)(p^2+p+1)=p^3-1$; মূল দুটি ১ নয়, ফলে $\alpha^3=\beta^3=1$ এবং উভয়ই অশূন্য।

   ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয় এমন যেকোনো পূর্ণসংখ্যা $s$-কে $3k+1$ অথবা $3k+2$ আকারে লেখা যায়, যেখানে $k$ পূর্ণসংখ্যা।

   $s=3k+1$ হলে $\alpha^s+\beta^s=\alpha+\beta=-1$। $s=3k+2$ হলে $\alpha^s+\beta^s=\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=1-2=-1$।

   অতএব উভয় ক্ষেত্রেই $\boxed{\alpha^s+\beta^s=-1}$। মূল দুটি অশূন্য এবং তাদের তৃতীয় ঘাত ১, তাই যুক্তিটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা $s$-এর জন্যও প্রযোজ্য।