গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

a. দেওয়া আছে, একটি সমকোণী ত্রিভুজের একটি সূক্ষ্মকোণ $\theta$ হলে,
$\sin \theta + 2\cos \theta = 1$
$\implies 2\cos \theta = 1 - \sin \theta$
উভয়পাশে বর্গ করে পাই,
$4\cos^2 \theta = (1 - \sin \theta)^2$
$\implies 4(1 - \sin^2 \theta) = 1 - 2\sin \theta + \sin^2 \theta$
$\implies 4 - 4\sin^2 \theta = 1 - 2\sin \theta + \sin^2 \theta$
$\implies 5\sin^2 \theta - 2\sin \theta - 3 = 0$
$\implies 5\sin^2 \theta - 5\sin \theta + 3\sin \theta - 3 = 0$
$\implies 5\sin \theta(\sin \theta - 1) + 3(\sin \theta - 1) = 0$
$\implies (\sin \theta - 1)(5\sin \theta + 3) = 0$
যেহেতু $\theta$ সূক্ষ্মকোণ ($0^\circ < \theta < 90^\circ$), তাই $\sin \theta \neq 1$ (কারণ $\theta \neq 90^\circ$) এবং $\sin \theta > 0$, ফলে $\sin \theta = -\frac{3}{5}$ গ্রহণযোগ্য নয়।
তবে মূল সমীকরণ সন্তুষ্টকারী বাস্তব সূক্ষ্মকোণের ক্ষেত্রে যদি সমীকরণটি $\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ বা অন্য কোনো প্রচলিত প্রশ্ন হতো, তবে মান সরাসরি আসত। এখানে প্রাপ্ত সমীকরণানুসারে প্রদত্ত সমীকরণের একমাত্র সমাধান $\sin\theta = 1 \implies \theta = 90^\circ$, যা সূক্ষ্মকোণ নয়। কিন্তু সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয় $A$ ও $B$ যেখানে $A+B=90^\circ$, তাদের সম্পর্ক $\sin A + 2\cos A = 1$ বিবেচনা করলে সূক্ষ্মকোণের সীমার মধ্যে কোনো বাস্তব সমাধান আসে না।

b. দেওয়া আছে,
$\cos 2a = \frac{3\cos 2\beta - 1}{3 - \cos 2\beta}$
বিয়োজন-যোজন করে পাই,
$\frac{1 - \cos 2a}{1 + \cos 2a} = \frac{(3 - \cos 2\beta) - (3\cos 2\beta - 1)}{(3 - \cos 2\beta) + (3\cos 2\beta - 1)}$
$\implies \frac{2\sin^2 a}{2\cos^2 a} = \frac{4 - 4\cos 2\beta}{2 + 2\cos 2\beta}$
$\implies \tan^2 a = \frac{4(1 - \cos 2\beta)}{2(1 + \cos 2\beta)}$
$\implies \tan^2 a = 2 \cdot \frac{2\sin^2 \beta}{2\cos^2 \beta}$
$\implies \tan^2 a = 2\tan^2 \beta$
যেহেতু $a$ ও $\beta$ উভয়ই ধনাত্মক সূক্ষ্মকোণ, সেহেতু $\tan a > 0$ এবং $\tan \beta > 0$।
উভয়পাশে বর্গমূল নিয়ে পাই,
$\tan a = \sqrt{2}\tan \beta$
(দেখানো হলো)