উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Combined Board • রাজশাহী, কুমিল্লা, চট্টগ্রাম, বরিশাল বোর্ড ২০১৮
উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন
g(x)=x \mathrm{g}(\mathrm{x})=\sqrt{\mathrm{x}} একটি বীজগণিতীয় ফাংশন।
- ক)(1)
θ \theta এর সাপেক্ষে θ∘sinθ∘ \theta^{\circ} \sin \theta^{\circ} এর অন্তরজ বের কর।
- খ)(2)
2ln(g(x)){g(x)}2 \frac{2 \ln (\mathrm{g}(\mathrm{x}))}{{\mathrm{g}(\mathrm{x})}^{2}} ফাংশনের সর্বোচ্চ মান বের কর।
- গ)(3)
প্রমাণ কর যে, g(x)+g(y)=g(b) \mathrm{g}(\mathrm{x})+\mathrm{g}(\mathrm{y})=\mathrm{g}(\mathrm{b}) বক্ররেখার (x1,y1) \left(\mathrm{x}{1}, \mathrm{y}{1}\right) বিন্দুতে অজ্কিত স্পর্শক কর্তৃক অক্ষদ্বয় হতে কর্তিত অংশের যোগফল b.
উত্তর ও ব্যাখ্যা
- ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
আমরা জানি, θ° = (π/180) * θ রেডিয়ান।
ধরি, y = θ° sin θ° = (πθ/180) * sin(πθ/180)θ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
d/dθ [θ° sin θ°] = (π/180) * d/dθ [θ sin(πθ/180)]
= (π/180) * [sin(πθ/180) + θ * cos(πθ/180) * (π/180)]
= (π/180) sin θ° + (π/180)² θ cos θ°। - খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে, g(x) = √x
প্রদত্ত ফাংশন, f(x) = 2 ln(g(x)) / {g(x)}² = 2 ln(√x) / (√x)²
= 2 * (1/2) ln x / x = (ln x) / xএখন, f'(x) = [x * (1/x) - ln x * 1] / x² = (1 - ln x) / x²
ফাংশনের সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মানের জন্য, f'(x) = 0
বা, 1 - ln x = 0
বা, ln x = 1
বা, x = eআবার, f''(x) = [x² * (-1/x) - (1 - ln x) * 2x] / x⁴
= [-x - 2x(1 - ln x)] / x⁴ = (-3 + 2 ln x) / x³
x = e বিন্দুতে, f''(e) = (-3 + 2 ln e) / e³ = (-3 + 2) / e³ = -1/e³ < 0
অতএব, x = e বিন্দুতে ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান।সুতরাং, সর্বোচ্চ মান = f(e) = (ln e) / e = 1/e।
- গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর
দেওয়া আছে বক্ররেখার সমীকরণ: g(x) + g(y) = g(b)
বা, √x + √y = √b ... (1)যেহেতু (x₁, y₁) বিন্দুটি বক্ররেখার উপর অবস্থিত, সুতরাং,
√x₁ + √y₁ = √b ... (2)(1) নং সমীকরণকে x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই:
1/(2√x) + {1/(2√y)} * (dy/dx) = 0
বা, dy/dx = -√(y/x)(x₁, y₁) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল, m = [dy/dx]_(x₁, y₁) = -√(y₁/x₁)
অতএব, (x₁, y₁) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ:
y - y₁ = -√(y₁/x₁) * (x - x₁)
বা, (y - y₁) / √y₁ = -(x - x₁) / √x₁
বা, x/√x₁ - √x₁ + y/√y₁ - √y₁ = 0
বা, x/√x₁ + y/√y₁ = √x₁ + √y₁
(2) নং সমীকরণ ব্যবহার করে পাই,
x/√x₁ + y/√y₁ = √b
বা, x / (√b√x₁) + y / (√b√y₁) = 1এটি অক্ষদ্বয় থেকে কর্তিত রূপ (x/a + y/b = 1)।
অতএব, x-অক্ষ হতে কর্তিত অংশ = √b√x₁ এবং y-অক্ষ হতে কর্তিত অংশ = √b√y₁।কর্তিত অংশদ্বয়ের যোগফল = √b√x₁ + √b√y₁
= √b (√x₁ + √y₁)
= √b * √b [যেহেতু √x₁ + √y₁ = √b]
= b। (প্রমাণিত)
আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও