উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, ভেক্টরদ্বয় যথাক্রমে $\vec{u} = 2\hat{i} + a\hat{j} + \hat{k}$ এবং $\vec{v} = 4\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$।
   যেহেতু ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব, সুতরাং এদের ডট গুণন শূন্য হবে:
   $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$
   $\Rightarrow (2)(4) + (a)(-2) + (1)(-2) = 0$
   $\Rightarrow 8 - 2a - 2 = 0$
   $\Rightarrow 6 - 2a = 0$
   $\Rightarrow 2a = 6 \implies a = 3$
   উত্তর: $a = 3$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক হতে বিন্দুটি $B(-5, 4)$।
   প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ:
   $2x^2 + 2y^2 - 4x - 8y + 2 = 0$
   $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$
   বৃত্তটির কেন্দ্র $C(1, 2)$ এবং ব্যাসার্ধ $r = \sqrt{1^2 + 2^2 - 1} = \sqrt{4} = 2$।

   $B(-5, 4)$ বিন্দুগামী যে-কোনো সরলরেখার সমীকরণ:
   $y - 4 = m(x + 5)$
   $mx - y + (5m + 4) = 0 \quad \text{--- (১)}$
   রেখাটি বৃত্তের স্পর্শক হলে, কেন্দ্র $(1, 2)$ হতে রেখাটির লম্ব দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান হবে।
   $\therefore \frac{|m(1) - 2 + 5m + 4|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 2$
   $\Rightarrow \frac{|6m + 2|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2$
   $\Rightarrow |3m + 1| = \sqrt{m^2 + 1}$
   উভয়পাশে বর্গ করে পাই,
   $(3m + 1)^2 = m^2 + 1$
   $9m^2 + 6m + 1 = m^2 + 1$
   $8m^2 + 6m = 0$
   $2m(4m + 3) = 0$
   হয় $m = 0$, অথবা $m = -\frac{3}{4}$।

   $m = 0$ হলে (১) নং হতে পাই:
   $0 \cdot x - y + (0 + 4) = 0 \implies y - 4 = 0$

   $m = -\frac{3}{4}$ হলে (১) নং হতে পাই:
   $-\frac{3}{4}x - y + \left(5\left(-\frac{3}{4}\right) + 4\right) = 0$
   $-\frac{3}{4}x - y + \left(-\frac{15}{4} + 4\right) = 0$
   $-\frac{3}{4}x - y + \frac{1}{4} = 0$
   $-3x - 4y + 1 = 0 \implies 3x + 4y - 1 = 0$

   উত্তর: নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ $y - 4 = 0$ এবং $3x + 4y - 1 = 0$।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপক হতে বৃত্তটি $A(2, 3)$, $B(-5, 4)$ এবং $C(-6, -5)$ বিন্দুগামী।
   ধরি, বৃত্তের সমীকরণ:
   $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \quad \text{--- (১)}$

   যেহেতু বৃত্তটি $A(2, 3)$ বিন্দুগামী:
   $2^2 + 3^2 + 2g(2) + 2f(3) + c = 0$
   $4 + 9 + 4g + 6f + c = 0$
   $4g + 6f + c + 13 = 0 \quad \text{--- (২)}$

   বৃত্তটি $B(-5, 4)$ বিন্দুগামী:
   $(-5)^2 + 4^2 + 2g(-5) + 2f(4) + c = 0$
   $25 + 16 - 10g + 8f + c = 0$
   $-10g + 8f + c + 41 = 0 \quad \text{--- (৩)}$

   বৃত্তটি $C(-6, -5)$ বিন্দুগামী:
   $(-6)^2 + (-5)^2 + 2g(-6) + 2f(-5) + c = 0$
   $36 + 25 - 12g - 10f + c = 0$
   $-12g - 10f + c + 61 = 0 \quad \text{--- (৪)}$

   সমীকরণ (২) থেকে (৩) বিয়োগ করে পাই:
   $(4g - (-10g)) + (6f - 8f) + (13 - 41) = 0$
   $14g - 2f - 28 = 0$
   $7g - f - 14 = 0 \implies f = 7g - 14 \quad \text{--- (৫)}$

   সমীকরণ (৩) থেকে (৪) বিয়োগ করে পাই:
   $(-10g - (-12g)) + (8f - (-10f)) + (41 - 61) = 0$
   $2g + 18f - 20 = 0$
   $g + 9f - 10 = 0 \quad \text{--- (৬)}$

   (৬) নং এ $f = 7g - 14$ বসিয়ে পাই:
   $g + 9(7g - 14) - 10 = 0$
   $g + 63g - 126 - 10 = 0$
   $64g - 136 = 0$
   $64g = 136 \implies g = \frac{136}{64} = \frac{17}{8}$

   অতএব, $f = 7\left(\frac{17}{8}\right) - 14 = \frac{119 - 112}{8} = \frac{7}{8}$$

   সমীকরণ (২) হতে $c$ এর মান বের করি:
   $c = -4g - 6f - 13$
   $c = -4\left(\frac{17}{8}\right) - 6\left(\frac{7}{8}\right) - 13$
   $c = -\frac{68}{8} - \frac{42}{8} - 13 = -\frac{110}{8} - 13 = -\frac{55}{4} - 13 = -\frac{107}{4} = -\frac{214}{8}$

   সুতরাং (১) নং সমীকরণে $g, f, c$ এর মান বসিয়ে পাই:
   $x^2 + y^2 + 2\left(\frac{17}{8}\right)x + 2\left(\frac{7}{8}\right)y - \frac{107}{4} = 0$
   $x^2 + y^2 + \frac{17}{4}x + \frac{7}{4}y - \frac{107}{4} = 0$
   $4(x^2 + y^2) + 17x + 7y - 107 = 0$

   উত্তর: $4x^2 + 4y^2 + 17x + 7y - 107 = 0$