উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Combined Board • সমন্বিত বোর্ড ২০২৬

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

চিত্রে △PQR \triangle PQR এর অন্তঃকেন্দ্র O,∠OPQ=α,∠OQR=β,∠ORP=θ O, \angle OPQ = \alpha, \angle OQR = \beta, \angle ORP = \theta .

  1. ক)

    tan⁡A=512 \tan A = \frac{5}{12} হলে, sin⁡2A \sin 2A এর মান নির্ণয় কর।

    (1)
  2. খ)

    cot⁡2α+cot⁡2β+cot⁡2θ=3 \cot 2\alpha + \cot 2\beta + \cot 2\theta = \sqrt{3} হলে, উদ্দীপকের চিত্র হতে প্রমাণ কর যে, cot⁡2P+cot⁡2Q+cot⁡2R=cot⁡Pcot⁡Q+cot⁡Qcot⁡R+cot⁡Rcot⁡P \cot^2 P + \cot^2 Q + \cot^2 R = \cot P \cot Q + \cot Q \cot R + \cot R \cot P .

    (2)
  3. গ)

    দৃশ্যকল্প হতে দেখাও যে, PR−PQQRcos⁡α=sin⁡(β−θ) \frac{PR - PQ}{QR} \cos\alpha = \sin(\beta - \theta) .

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    tan⁡A=512\tan A = \frac{5}{12}

    আমরা জানি,
    sin⁡2A=2tan⁡A1+tan⁡2A\sin 2A = \frac{2\tan A}{1 + \tan^2 A}

    মান বসিয়ে পাই,
    sin⁡2A=2×5121+(512)2=561+25144=56169144=56×144169=120169\sin 2A = \frac{2 \times \frac{5}{12}}{1 + \left(\frac{5}{12}\right)^2} = \frac{\frac{5}{6}}{1 + \frac{25}{144}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{169}{144}} = \frac{5}{6} \times \frac{144}{169} = \frac{120}{169}

    অতএব, নির্ণেয় মান 120169\frac{120}{169}।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    যেহেতু চিত্রানুযায়ী OO হলো △PQR\triangle PQR এর অন্তঃকেন্দ্র, তাই OP,OQOP, OQ এবং OROR যথাক্রমে ∠P,∠Q\angle P, \angle Q এবং ∠R\angle R এর সমদ্বিখণ্ডক।
    অতএব,
    ∠P=2∠OPQ=2α\angle P = 2\angle OPQ = 2\alpha
    ∠Q=2∠OQR=2β\angle Q = 2\angle OQR = 2\beta
    ∠R=2∠ORP=2θ\angle R = 2\angle ORP = 2\theta

    দেওয়া আছে,
    cot⁡2α+cot⁡2β+cot⁡2θ=3\cot 2\alpha + \cot 2\beta + \cot 2\theta = \sqrt{3}
    বা, cot⁡P+cot⁡Q+cot⁡R=3\cot P + \cot Q + \cot R = \sqrt{3}

    যেহেতু △PQR\triangle PQR এ P+Q+R=πP + Q + R = \pi, সেহেতু আমরা জানি,
    cot⁡Pcot⁡Q+cot⁡Qcot⁡R+cot⁡Rcot⁡P=1\cot P \cot Q + \cot Q \cot R + \cot R \cot P = 1

    উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই,
    (cot⁡P+cot⁡Q+cot⁡R)2=(3)2=3(\cot P + \cot Q + \cot R)^2 = (\sqrt{3})^2 = 3
    বা, cot⁡2P+cot⁡2Q+cot⁡2R+2(cot⁡Pcot⁡Q+cot⁡Qcot⁡R+cot⁡Rcot⁡P)=3\cot^2 P + \cot^2 Q + \cot^2 R + 2(\cot P \cot Q + \cot Q \cot R + \cot R \cot P) = 3
    বা, cot⁡2P+cot⁡2Q+cot⁡2R+2(1)=3\cot^2 P + \cot^2 Q + \cot^2 R + 2(1) = 3
    বা, cot⁡2P+cot⁡2Q+cot⁡2R=3−2=1\cot^2 P + \cot^2 Q + \cot^2 R = 3 - 2 = 1

    যেহেতু cot⁡Pcot⁡Q+cot⁡Qcot⁡R+cot⁡Rcot⁡P=1\cot P \cot Q + \cot Q \cot R + \cot R \cot P = 1,
    সুতরাং,
    cot⁡2P+cot⁡2Q+cot⁡2R=cot⁡Pcot⁡Q+cot⁡Qcot⁡R+cot⁡Rcot⁡P\cot^2 P + \cot^2 Q + \cot^2 R = \cot P \cot Q + \cot Q \cot R + \cot R \cot P (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    চিত্রানুযায়ী,
    QR=pQR = p, PR=qPR = q, এবং PQ=rPQ = r।
    যেহেতু OO অন্তঃকেন্দ্র, তাই ∠P=2α,∠Q=2β,∠R=2θ\angle P = 2\alpha, \angle Q = 2\beta, \angle R = 2\theta।

    △PQR\triangle PQR এ সাইন সূত্রানুসারে,
    psin⁡P=qsin⁡Q=rsin⁡R=2R′\frac{p}{\sin P} = \frac{q}{\sin Q} = \frac{r}{\sin R} = 2R' (যেখানে R′R' হলো পরিব্যাসার্ধ)

    বামপক্ষ:
    =PR−PQQRcos⁡α= \frac{PR - PQ}{QR} \cos\alpha
    =q−rpcos⁡α= \frac{q - r}{p} \cos\alpha
    =2R′sin⁡Q−2R′sin⁡R2R′sin⁡Pcos⁡α= \frac{2R'\sin Q - 2R'\sin R}{2R'\sin P} \cos\alpha
    =sin⁡Q−sin⁡Rsin⁡Pcos⁡α= \frac{\sin Q - \sin R}{\sin P} \cos\alpha

    যেহেতু Q=2βQ = 2\beta, R=2θR = 2\theta এবং P=2αP = 2\alpha:
    =sin⁡2β−sin⁡2θsin⁡2αcos⁡α= \frac{\sin 2\beta - \sin 2\theta}{\sin 2\alpha} \cos\alpha
    =2cos⁡(2β+2θ2)sin⁡(2β−2θ2)2sin⁡αcos⁡αcos⁡α= \frac{2\cos\left(\frac{2\beta + 2\theta}{2}\right) \sin\left(\frac{2\beta - 2\theta}{2}\right)}{2\sin\alpha\cos\alpha} \cos\alpha
    =2cos⁡(β+θ)sin⁡(β−θ)2sin⁡αcos⁡αcos⁡α= \frac{2\cos(\beta + \theta) \sin(\beta - \theta)}{2\sin\alpha\cos\alpha} \cos\alpha
    =cos⁡(β+θ)sin⁡(β−θ)sin⁡α= \frac{\cos(\beta + \theta) \sin(\beta - \theta)}{\sin\alpha}

    যেহেতু P+Q+R=180∘P + Q + R = 180^\circ,
    বা, 2α+2β+2θ=180∘2\alpha + 2\beta + 2\theta = 180^\circ
    বা, α+β+θ=90∘\alpha + \beta + \theta = 90^\circ
    বা, β+θ=90∘−α\beta + \theta = 90^\circ - \alpha

    অতএব,
    cos⁡(β+θ)=cos⁡(90∘−α)=sin⁡α\cos(\beta + \theta) = \cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha

    মান বসিয়ে পাই,
    =sin⁡α⋅sin⁡(β−θ)sin⁡α=sin⁡(β−θ)=ডানপক্ষ= \frac{\sin\alpha \cdot \sin(\beta - \theta)}{\sin\alpha} = \sin(\beta - \theta) = \text{ডানপক্ষ}

    অতএব, PR−PQQRcos⁡α=sin⁡(β−θ)\frac{PR - PQ}{QR} \cos\alpha = \sin(\beta - \theta) (দেখানো হলো)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন