পরিসংখ্যান ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উপাত্তসমূহের মানগুলোর তাদের মাঝামাঝি বা কেন্দ্রিয় মানের দিকে পুঞ্জীভূত হওয়ার প্রবণতাকেই কেন্দ্রিয় প্রবণতা বলে।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   গাণিতিক গড় নির্ণয়ের সময় প্রতিটি মানের সমষ্টিকে মোট পদসংখ্যা দিয়ে ভাগ করা হয়। ফলে উপাত্তে কোনো অস্বাভাবিক বড় বা অস্বাভাবিক ছোট (প্রান্তীয়) মান থাকলে তা সমগ্র সমষ্টিকে অনেক বৃদ্ধি বা হ্রাস করে দেয়। এর ফলে গাণিতিক গড়ের মান কেন্দ্রের প্রকৃত প্রতিনিধিত্বশীল মান থেকে সরে যায়। তাই বলা হয়, গাণিতিক গড় প্রান্তীয় মান দ্বারা ব্যাপকভাবে প্রভাবিত হয়।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মধ্যমা নির্ণয়ের সারণি তৈরি করা হলো:

   চিংড়ির ওজন (গ্রাম)	চিংড়ির সংখ্যা ($f_i$)	ক্রমযোজিত গণসংখ্যা ($F_c$)
   ১০ - ২০	৭	৭
   ২০ - ৩০	১০	১৭
   ৩০ - ৪০	১৮	৩৫
   ৪০ - ৫০	৬	৪১
   ৫০ - ৬০	৫	৪৬
   মোট	$N = ৪৬$

   এখানে, মোট চিংড়ির সংখ্যা, $N = 46$
   অতএব, $\frac{N}{2} = \frac{46}{2} = 23$
   ২৩-তম মানটি ক্রমযোজিত গণসংখ্যা ৩৫-এর মধ্যে রয়েছে, যার সংশ্লিষ্ট শ্রেণি ৩০ - ৪০।
   সুতরাং, মধ্যমা শ্রেণি হলো ৩০ - ৪০।

   আমরা জানি, মধ্যমা $M_e = L + \frac{\frac{N}{2} - F_c}{f_m} \times c$
   এখানে,
   মধ্যমা শ্রেণির নিম্নসীমা, $L = 30$
   মধ্যমা শ্রেণির পূর্ববর্তী শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা, $F_c = 17$
   মধ্যমা শ্রেণির গণসংখ্যা, $f_m = 18$
   শ্রেণিব্যাপ্তি, $c = 10$

   মান বসিয়ে পাই:
   $M_e = 30 + \frac{23 - 17}{18} \times 10$
   $= 30 + \frac{6}{18} \times 10$
   $= 30 + \frac{1}{3} \times 10$
   $= 30 + 3.33 = 33.33$ গ্রাম (প্রায়)।

   অতএব, নির্ণেয় মধ্যমা ৩৩.৩৩ গ্রাম।

4. ঘ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   উদ্দীপকের তথ্য থেকে গাণিতিক গড় (A.M.) এবং তরঙ্গ গড় (H.M.) নির্ণয় করি:

   শ্রেণিব্যাপ্তি	মধ্যমান ($x_i$)	গণসংখ্যা ($f_i$)	$f_i x_i$	$\frac{f_i}{x_i}$
   ১০-২০	১৫	৭	১০৫	$\frac{7}{15} \approx 0.4667$
   ২০-৩০	২৫	১০	২৫০	$\frac{10}{25} = 0.4000$
   ৩০-৪০	৩৫	১৮	৬৩০	$\frac{18}{35} \approx 0.5143$
   ৪০-৫০	৪৫	৬	২৭০	$\frac{6}{45} \approx 0.1333$
   ৫০-৬০	৫৫	৫	২৭৫	$\frac{5}{55} \approx 0.0909$
   মোট		$N = ৪৬$	$\sum f_i x_i = ১৫৩০$	$\sum \frac{f_i}{x_i} \approx ১.৬০৫২$

   ১. গাণিতিক গড় (A.M.):
   $\text{A.M.} = \bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{1530}{46} \approx 33.26$ গ্রাম।

   ২. তরঙ্গ গড় (H.M.):
   $\text{H.M.} = \frac{N}{\sum \frac{f_i}{x_i}} = \frac{46}{1.6052} \approx 28.66$ গ্রাম।

   সম্পর্ক বিশ্লেষণ:
   প্রাপ্ত মান দুটি পর্যালোচনা করলে দেখা যায়:
   $\text{A.M.} = 33.26$ এবং $\text{H.M.} = 28.66$
   অর্থাৎ, $\text{A.M.} > \text{H.M.}$

   আমরা জানি, যেকোনো ধনাত্মক এবং অসমান উপাত্তের ক্ষেত্রে গাণিতিক গড় তরঙ্গ গড়ের চেয়ে সর্বদা বৃহত্তর হয় ($A.M. > H.M.$)। উপাত্তের মানগুলো পরস্পর সমান হলে এরা সমান হতো ($A.M. = H.M.$)। যেহেতু উদ্দীপকের উপাত্তসমূহ অসমান ও ধনাত্মক, তাই এখানে $A.M. > H.M.$ সম্পর্কটি যথাযথভাবে প্রতিপন্ন হয়েছে।