উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Dinajpur Board • দিনাজপুর বোর্ড ২০১৭

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

mx2+nx+l=0 m x^{2}+n x+l=0 এবং lx2+nx+m=0 l x^{2}+n x+m=0

  1. ক)

    উৎপাদকের সাহায্যে 2x2+5x−9=0 2 x^{2}+5 x-9=0 সমীকরণটি সমাধান কর।

    (2)
  2. খ)

    উদ্দীপকে উল্লিখিত সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকলে দেখাও যে, m+l=±n \mathrm{m}+l= \pm \mathrm{n}

    (4)
  3. গ)

    mx2+nx+l=0 \mathrm{mx}^{2}+\mathrm{nx}+\mathrm{l}=0 সমীকরণটির মূলদ্বয় α \alpha ও β \beta হলে, দেখাও যে,ml(x2+1)−(n2−2ml)x=0\text{ml} (x^2 + 1) - (n^2 - 2\text{ml}) x = 0সমীকরণের দুইটি মুল αβ \frac{\alpha}{\beta} এবং βα \frac{\beta}{\alpha}

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    প্রদত্ত সমীকরণ: 2x2+5x−9=02x^2 + 5x - 9 = 0
    আমরা জানি, ax2+bx+c=a(x−−b+b2−4ac2a)(x−−b−b2−4ac2a)=0ax^2 + bx + c = a\left(x - \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\left(x - \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) = 0
    এখানে, b2−4ac=52−4(2)(−9)=25+72=97b^2 - 4ac = 5^2 - 4(2)(-9) = 25 + 72 = 97
    অতএব উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,
    2(x−−5+974)(x−−5−974)=02\left(x - \frac{-5+\sqrt{97}}{4}\right)\left(x - \frac{-5-\sqrt{97}}{4}\right) = 0
      ⟹  x=−5±974\implies x = \frac{-5 \pm \sqrt{97}}{4}।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, সমীকরণদ্বয়ের সাধারণ মূলটি হলো α\alpha।
    তাহলে,
    mα2+nα+l=0m\alpha^2 + n\alpha + l = 0 ---- (১)
    lα2+nα+m=0l\alpha^2 + n\alpha + m = 0 ---- (২)

    (১) হতে (২) বিয়োগ করে পাই,
    (m−l)α2+(l−m)=0(m - l)\alpha^2 + (l - m) = 0
      ⟹  (m−l)α2−(m−l)=0\implies (m - l)\alpha^2 - (m - l) = 0
      ⟹  (m−l)(α2−1)=0\implies (m - l)(\alpha^2 - 1) = 0

    যদি m≠lm \ne l হয়, তবে α2−1=0  ⟹  α2=1  ⟹  α=±1\alpha^2 - 1 = 0 \implies \alpha^2 = 1 \implies \alpha = \pm 1

    এখন, α=1\alpha = 1 সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই,
    m(1)2+n(1)+l=0  ⟹  m+l=−nm(1)^2 + n(1) + l = 0 \implies m + l = -n

    আবার, α=−1\alpha = -1 সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই,
    m(−1)2+n(−1)+l=0  ⟹  m−n+l=0  ⟹  m+l=nm(-1)^2 + n(-1) + l = 0 \implies m - n + l = 0 \implies m + l = n

    সুতরাং, m+l=±nm + l = \pm n (দেখানো হলো)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, mx2+nx+l=0mx^2 + nx + l = 0 সমীকরণটির মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta।
    তাহলে,
    α+β=−nm\alpha + \beta = -\frac{n}{m}
    αβ=lm\alpha\beta = \frac{l}{m}

    যে সমীকরণের মূলদ্বয় αβ\frac{\alpha}{\beta} ও βα\frac{\beta}{\alpha}, সেটির:
    মূলদ্বয়ের যোগফল =αβ+βα=α2+β2αβ=(α+β)2−2αβαβ= \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} = \frac{(\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta}{\alpha\beta}
    =(−nm)2−2(lm)lm=n2−2mlm2lm=n2−2mlml= \frac{\left(-\frac{n}{m}\right)^2 - 2\left(\frac{l}{m}\right)}{\frac{l}{m}} = \frac{\frac{n^2 - 2ml}{m^2}}{\frac{l}{m}} = \frac{n^2 - 2ml}{ml}

    মূলদ্বয়ের গুণফল =αβ⋅βα=1= \frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{\beta}{\alpha} = 1

    অতএব, নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো:
    x2−(মূলদ্বয়ের যোগফল)x+(মূলদ্বয়ের গুণফল)=0x^2 - (\text{মূলদ্বয়ের যোগফল})x + (\text{মূলদ্বয়ের গুণফল}) = 0
      ⟹  x2−(n2−2mlml)x+1=0\implies x^2 - \left(\frac{n^2 - 2ml}{ml}\right)x + 1 = 0
      ⟹  ml(x2+1)−(n2−2ml)x=0\implies ml(x^2 + 1) - (n^2 - 2ml)x = 0

    সুতরাং, ml(x2+1)−(n2−2ml)x=0ml(x^2 + 1) - (n^2 - 2ml)x = 0 সমীকরণের দুইটি মূল αβ\frac{\alpha}{\beta} এবং βα\frac{\beta}{\alpha} (দেখানো হলো)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন