দৃশ্যকল্প: f(u)=tan⁡3u,g(x)=x3−9x2+15x+7 f(u)=tan 3 u, … | প্রশ্ন | উৎসাহ

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Dhaka Board • ঢাকা বোর্ড ২০২১

দৃশ্যকল্প: f(u)=tan⁡3u,g(x)=x3−9x2+15x+7 f(u)=\tan 3 u, g(x)=x^{3}-9 x^{2}+15 x+7

ক)
a-এর মান কত হলে, y=ax(1−x) y=a x(1-x) বক্ররেখার মূল বিন্দুতে স্পর্শকটি x x -অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে 30∘ 30^{\circ} কোণ উৎপন্ন করে।
(2)
খ)
lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} নির্ণয় কর।
(4)
গ)
যে সকল ব্যবধিতে g(x) ফাংশনটির মান বৃদ্ধি বা হ্রাস পায় তা নির্ণয় কর।
(4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

ক)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর

প্রদত্ত বক্ররেখা: $y = ax(1-x) = ax - ax^2$
$\frac{dy}{dx} = a - 2ax$
মূলবিন্দুতে $(0,0)$ ঢাল $m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0,0)} = a$
প্রশ্নানুসারে, $m = \tan 30^\circ$
$\Rightarrow a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ ।
খ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে, $f(u) = \tan 3u \Rightarrow f(x) = \tan 3x$
$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\tan 3(x+h) - \tan 3x}{h}$
$= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin(3x+3h)}{\cos(3x+3h)} - \frac{\sin 3x}{\cos 3x}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(3x+3h-3x)}{h \cos(3x+3h)\cos 3x}$
$= \lim_{h \to 0} \left(\frac{\sin 3h}{3h} \cdot 3\right) \frac{1}{\cos(3x+3h)\cos 3x} = 3\sec^2 3x$ ।
গ)
AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে, $g(x) = x^3 - 9x^2 + 15x + 7$
$\therefore g'(x) = 3x^2 - 18x + 15 = 3(x-1)(x-5)$

ফাংশনটি বৃদ্ধি পাওয়ার জন্য $g'(x) > 0$ হতে হবে:
$3(x-1)(x-5) > 0 \implies x < 1$ অথবা $x > 5$
অর্থাৎ ব্যবধি: $(-\infty, 1) \cup (5, \infty)$ ।

ফাংশনটি হ্রাস পাওয়ার জন্য $g'(x) < 0$ হতে হবে:
$3(x-1)(x-5) < 0 \implies 1 < x < 5$
অর্থাৎ ব্যবধি: $(1, 5)$ ।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করো ওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন