গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

দেওয়া আছে,
$f(x) = \sqrt{x - 1}, \quad x \ge 1$
$g(x) = x^2 + 2$

১ম অংশ: $(g \circ f^{-1})(x)$ নির্ণয়:
ধরি, $y = f(x) = \sqrt{x - 1}$
বা, $y^2 = x - 1$
বা, $x = y^2 + 1$
অতএব, $f^{-1}(x) = x^2 + 1$, যেখানে $x \ge 0$ [যেহেতু $f(x) \ge 0$]

এখন,
$(g \circ f^{-1})(x) = g(f^{-1}(x)) = g(x^2 + 1)$
$= (x^2 + 1)^2 + 2$
$= x^4 + 2x^2 + 1 + 2$
$= x^4 + 2x^2 + 3, \quad (x \ge 0)$

২য় অংশ: $(g \circ f)^{-1}(x)$ নির্ণয়:
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(\sqrt{x - 1})$
$= (\sqrt{x - 1})^2 + 2 = x - 1 + 2 = x + 1, \quad (x \ge 1)$

ধরি, $y = (g \circ f)(x) = x + 1$
বা, $x = y - 1$
অতএব, $(g \circ f)^{-1}(x) = x - 1$, যেখানে $x \ge 2$ [যেহেতু $x \ge 1 \implies x+1 \ge 2$]

উত্তর:
$(g \circ f^{-1})(x) = x^4 + 2x^2 + 3 \quad (x \ge 0)$
$(g \circ f)^{-1}(x) = x - 1 \quad (x \ge 2)$