উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ: $2x^2 + 2y^2 - 6x - 7 = 0 \implies x^2 + y^2 - 3x - \frac{7}{2} = 0$
   $(3, 2)$ বিন্দু থেকে স্পর্শকের দৈর্ঘ্য:
   $L = \sqrt{3^2 + 2^2 - 3(3) - \frac{7}{2}} = \sqrt{9 + 4 - 9 - \frac{7}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ একক}$

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   বৃত্তটি $x=0$ এবং $x=10$ রেখাদ্বয়কে স্পর্শ করায় বৃত্তের ব্যাস $= |10 - 0| = 10$, সুতরাং ব্যাসার্ধ $r = 5$।
   কেন্দ্রের $x$-স্থানাঙ্ক $h = \frac{0 + 10}{2} = 5$।
   বৃত্তটি $y=0$ ($x$-অক্ষ) রেখাকে স্পর্শ করায় কেন্দ্রের $y$-স্থানাঙ্ক $k = \pm r = \pm 5$।
   অতএব, বৃত্তের সমীকরণ:
   $(x - 5)^2 + (y \mp 5)^2 = 5^2$
   $\implies x^2 + y^2 - 10x \pm 10y + 25 = 0$

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ:
   $(x^2 + y^2 - 12x + 16y - 69) - (x^2 + y^2 - 9x + 12y - 59) = 0$
   $\implies -3x + 4y - 10 = 0 \implies 3x - 4y + 10 = 0$

   উক্ত সাধারণ জ্যাকে ধারণকারী বৃত্তের সমীকরণ:
   $x^2 + y^2 - 12x + 16y - 69 + k(3x - 4y + 10) = 0$
   এর কেন্দ্র $\left(\frac{12 - 3k}{2}, 2k - 8\right)$ সাধারণ জ্যা-এর ওপর অবস্থিত হওয়ায়:
   $3\left(\frac{12 - 3k}{2}\right) - 4(2k - 8) + 10 = 0 \implies k = \frac{24}{5}$

   $k$-এর মান বসিয়ে পাই:
   $5(x^2 + y^2 - 12x + 16y - 69) + 24(3x - 4y + 10) = 0$
   $\implies 5x^2 + 5y^2 + 12x - 16y - 105 = 0$