গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

(a)
দেওয়া আছে,
$y = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)$

ধরি, $x = \tan\theta \implies \theta = \tan^{-1}x$

$\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x} = \frac{\sqrt{1+\tan^2\theta}-1}{\tan\theta} = \frac{\sec\theta - 1}{\tan\theta}$
$= \frac{\frac{1}{\cos\theta} - 1}{\frac{\sin\theta}{\cos\theta}} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} = \frac{2\sin^2\frac{\theta}{2}}{2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}} = \tan\frac{\theta}{2}$

অতএব,
$y = \tan^{-1}\left(\tan\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2}\tan^{-1}x$

এখন, $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx}(\tan^{-1}x) = \frac{1}{2(1+x^2)}$

উত্তর: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(1+x^2)}$

---

(b)
দেওয়া আছে,
$y = a \cos(\log x) + b \sin(\log x)$

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$y_1 = \frac{dy}{dx} = -a \sin(\log x) \cdot \frac{1}{x} + b \cos(\log x) \cdot \frac{1}{x}$
$\implies x y_1 = -a \sin(\log x) + b \cos(\log x)$

উভয়পক্ষকে পুনরায় $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,
$\frac{d}{dx}(x y_1) = -a \cos(\log x) \cdot \frac{1}{x} - b \sin(\log x) \cdot \frac{1}{x}$
$\implies x y_2 + y_1 \cdot 1 = -\frac{1}{x} [a \cos(\log x) + b \sin(\log x)]$
$\implies x y_2 + y_1 = -\frac{y}{x}$
$\implies x(x y_2 + y_1) = -y$
$\implies x^2 y_2 + x y_1 + y = 0$

(প্রমাণিত)