y²-kx + 8 = 0, (k ≠ 0) পরাবৃত্তের নিয়ামকের সমীকরণ x - 1 = 0 হলে এবং পরাবৃত্তটি x² + y² = 4 বৃত্তকে দুটি আলাদা বাস্তব বিন্দুতে ছেদ করলে k এর মান কত হবে?

Question

Accepted Answer

খ. -8

ব্যাখ্যা: পরাবৃত্তের সমীকরণ: $y^2 = kx - 8 = k\left(x - \frac{8}{k}\right)$
এখানে $4a = k \implies a = \frac{k}{4}$।
নিয়ামকের সমীকরণ: $X = -a \implies x - \frac{8}{k} = -\frac{k}{4} \implies x = \frac{8}{k} - \frac{k}{4}$।
দেওয়া আছে নিয়ামক $x = 1$, সুতরাং:
$\frac{8}{k} - \frac{k}{4} = 1 \implies 32 - k^2 = 4k \implies k^2 + 4k - 32 = 0$
$\implies (k + 8)(k - 4) = 0 \implies k = 4$ অথবা $k = -8$।

এখন, $x^2 + y^2 = 4$ বৃত্তের সাথে ছেদবিন্দুর জন্য $y^2 = kx - 8$ বসিয়ে পাই:
$x^2 + kx - 12 = 0$
১) $k = 4$ হলে: $x^2 + 4x - 12 = 0 \implies (x + 6)(x - 2) = 0$। বৃত্তের জন্য $-2 \le x \le 2$ হতে হবে। $x = -6$ গ্রহণযোগ্য নয় এবং $x = 2$ হলে $y = 0$, যা কেবল একটি বিন্দু নির্দেশ করে।
২) $k = -8$ হলে: $x^2 - 8x - 12 = 0 \implies x = 4 \pm 2\sqrt{7}$।
এখানে $x = 4 - 2\sqrt{7} \approx -1.29$, যা বৃত্তের ডোমেন $[-2, 2]$-এর মধ্যে থাকে এবং এর জন্য $y = \pm\sqrt{4 - x^2}$ দুটি ভিন্ন বাস্তব মান দেয়।
অতএব, পরাবৃত্তটি বৃত্তকে দুটি আলাদা বাস্তব বিন্দুতে ছেদ করতে হলে $k = -8$ হতে হবে।

গণিত প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন