উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মনে করি, খাড়া নিচের দিক ধনাত্মক।
   নিক্ষেপ বিন্দু হতে আদিবেগ উপরের দিকে হওয়ায় $u = -5\text{ m/s}$, অভিকর্ষজ ত্বরণ $g = 9.8\text{ m/s}^2$ এবং সময় $t = 4\text{ s}$।

   আমরা জানি,
   $h = -ut + \frac{1}{2}gt^2$
   $\implies h = -5(4) + \frac{1}{2}(9.8)(4)^2$
   $\implies h = -20 + 4.9 \times 16$
   $\implies h = -20 + 78.4 = 58.4\text{ m}$

   অতএব, $h$ এর মান $58.4\text{ m}$।

2. খ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   মনে করি, বস্তুকণাটির আদিবেগ $u$ এবং ত্বরণ $a$।

   প্রথম $t_1$ সময়ে $y_1$ দূরত্ব অতিক্রম করে:
   $y_1 = ut_1 + \frac{1}{2}at_1^2$
   $\implies \frac{y_1}{t_1} = u + \frac{1}{2}at_1 \quad \dots (1)$

   বস্তুকণাটি প্রথম থেকে মোট $(t_1 + t_2)$ সময়ে $(y_1 + y_2)$ দূরত্ব অতিক্রম করে:
   $y_1 + y_2 = u(t_1 + t_2) + \frac{1}{2}a(t_1 + t_2)^2$
   $\implies \frac{y_1 + y_2}{t_1 + t_2} = u + \frac{1}{2}a(t_1 + t_2) \quad \dots (2)$

   সমীকরণ (2) থেকে (1) বিয়োগ করে পাই:
   $\frac{y_1 + y_2}{t_1 + t_2} - \frac{y_1}{t_1} = \frac{1}{2}at_2$
   $\implies \frac{t_1(y_1 + y_2) - y_1(t_1 + t_2)}{t_1(t_1 + t_2)} = \frac{1}{2}at_2$
   $\implies \frac{t_1 y_1 + t_1 y_2 - t_1 y_1 - t_2 y_1}{t_1(t_1 + t_2)} = \frac{1}{2}at_2$
   $\implies \frac{t_1 y_2 - t_2 y_1}{t_1(t_1 + t_2)} = \frac{1}{2}at_2$
   $\implies \frac{t_2 \left(\frac{y_2}{t_2} - \frac{y_1}{t_1}\right)}{t_1 + t_2} = \frac{1}{2}at_2$
   $\implies \frac{\frac{y_2}{t_2} - \frac{y_1}{t_1}}{t_1 + t_2} = \frac{1}{2}a$
   $\implies a = \frac{2\left(\frac{y_2}{t_2} - \frac{y_1}{t_1}\right)}{t_1 + t_2}$ (দেখানো হলো)।

3. গ)

   AI-তৈরি নমুনা উত্তর

   ধরি, অনুভূমিকের সাথে $\alpha$ কোণে বস্তুকণাটি $u_1$ আদিবেগে প্রক্ষিপ্ত করা হয়।

   প্রদত্ত, সর্বাধিক উচ্চতা $Y$ এবং আনুভূমিক পাল্লা $X$।
   আমরা জানি,
   $Y = \frac{u_1^2 \sin^2\alpha}{2g} \implies \sin^2\alpha = \frac{2gY}{u_1^2}$
   এবং $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \frac{2gY}{u_1^2} = \frac{u_1^2 - 2gY}{u_1^2}$

   আবার, আনুভূমিক পাল্লা:
   $X = \frac{u_1^2 \sin 2\alpha}{g} = \frac{2u_1^2 \sin\alpha \cos\alpha}{g}$

   এখন,
   $X^2 = \frac{4u_1^4 \sin^2\alpha \cos^2\alpha}{g^2}$
   $\implies X^2 = \frac{4u_1^4}{g^2} \cdot \left(\frac{2gY}{u_1^2}\right) \cdot \left(\frac{u_1^2 - 2gY}{u_1^2}\right)$
   $\implies X^2 = \frac{8Y(u_1^2 - 2gY)}{g} = \frac{16Y(u_1^2 - 2gY)}{2g}$
   $\implies X = 4\sqrt{\frac{Y(u_1^2 - 2gY)}{2g}}$ (প্রমাণিত)।