$\int_{\sqrt{e}}^{1} x \ln \frac{1}{x^2} dx$ এর মান কত?

Question

Accepted Answer

গ. $\frac{1}{2}$

ব্যাখ্যা: $\ln\frac1{x^2}=-2\ln x$, তাই সমাকল $=-2x\ln x$।

$\int x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}$, সুতরাং $\int-2x\ln x\,dx=-x^2\ln x+\frac{x^2}{2}$।

$x=1$ এ মান $=0+\frac12=\frac12$; $x=\sqrt e$ এ মান $=-e\cdot\frac12+\frac e2=0$।

উত্তর $=\frac12-0=\frac12$।

**মনে রাখার কৌশল:** লগ পদের সমাকলে খণ্ডশঃ সমাকলন: $\int x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}$।

**একই ধরনের প্রশ্ন:**
১. $\int_1^e x\ln x\,dx$ এর মান কত?
*উত্তর:* $\frac{e^2+1}{4}$

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন