গণিত প্রশ্ন

AI-তৈরি নমুনা উত্তর

ধরি, I = ∫ x²(ln x)² dx

Integration by parts প্রয়োগ করে,
I = (ln x)² ∫ x² dx - ∫ [d/dx (ln x)² ∫ x² dx] dx
= (ln x)² (x³/3) - ∫ [2(ln x) · (1/x) · (x³/3)] dx
= (x³/3)(ln x)² - (2/3) ∫ x² ln x dx

এখন, ∫ x² ln x dx = ln x ∫ x² dx - ∫ [d/dx(ln x) ∫ x² dx] dx
= (x³/3) ln x - ∫ (1/x · x³/3) dx
= (x³/3) ln x - (1/3) ∫ x² dx
= (x³/3) ln x - x³/9

সুতরাং,
I = (x³/3)(ln x)² - (2/3) [(x³/3) ln x - x³/9] + c
= (x³/3)(ln x)² - (2/9) x³ ln x + (2/27) x³ + c (যেখানে c একটি সমাকলন ধ্রুবক)।