গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   $60^\circ$ কোণের পূরক কোণ $=90^\circ-60^\circ=30^\circ$। সুতরাং $30^\circ$ কোণ আঁকতে হবে।

   অঙ্কনের বিবরণ:
   ১. একটি রশ্মি $OA$ আঁকি।
   ২. $O$ কে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি, যা $OA$-কে $C$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   ৩. $C$ কে কেন্দ্র করে একই ব্যাসার্ধ নিয়ে আরেকটি বৃত্তচাপ আঁকি, যা আগের চাপকে $D$ বিন্দুতে ছেদ করে। $O,D$ যোগ করি। তাহলে $\angle AOD=60^\circ$।
   ৪. $C$ ও $D$ কে কেন্দ্র করে $\dfrac12CD$-এর চেয়ে বড় একই ব্যাসার্ধ নিয়ে দুটি চাপ আঁকি, যা $E$ বিন্দুতে ছেদ করে।
   ৫. $O,E$ যোগ করি।

   $\angle AOE=\dfrac12\angle AOD=30^\circ$, যা $60^\circ$ কোণের পূরক কোণ।

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $\triangle MNF$-এর $NF$ বাহুর মধ্যবিন্দু $R$। প্রমাণ করতে হবে, $MN+MF>2MR$।

   অঙ্কন: $MR$ কে $X$ পর্যন্ত বাড়াই যেন $RX=MR$ হয়। $F,X$ যোগ করি।

   প্রমাণ: $\triangle MNR$ ও $\triangle XFR$-এ $NR=FR$ ($R$ মধ্যবিন্দু), $MR=XR$ (অঙ্কন) এবং $\angle MRN=\angle XRF$ (বিপ্রতীপ কোণ)।

   $\therefore\triangle MNR\cong\triangle XFR$, অতএব $MN=FX$।

   $\triangle MFX$-এ $MF+FX>MX$ (দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর)।

   বা, $MF+MN>2MR$ [$FX=MN$, $MX=2MR$]

   $\therefore MN+MF>2MR$। (প্রমাণিত)

3. গ)

   বিশেষ নির্বচন: $\triangle MNF$-এর $MN$ ও $MF$ বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $P$ ও $Q$। প্রমাণ করতে হবে, $NF=2PQ$।

   অঙ্কন: $PQ$ কে $X$ পর্যন্ত বাড়াই যেন $QX=PQ$ হয়। $F,X$ যোগ করি।

   প্রমাণ: $\triangle MPQ$ ও $\triangle FQX$-এ $MQ=FQ$ ($Q$ মধ্যবিন্দু), $PQ=QX$ (অঙ্কন) এবং $\angle MQP=\angle FQX$ (বিপ্রতীপ কোণ)।

   $\therefore\triangle MPQ\cong\triangle FQX$, অতএব $MP=FX$ এবং $\angle MPQ=\angle FXQ$।

   $\angle MPQ=\angle FXQ$ একান্তর কোণ, তাই $MN\parallel FX$। $MP=PN$ বলে $PN=FX$।

   সুতরাং $PNFX$ চতুর্ভুজের $PN$ ও $FX$ সমান ও সমান্তরাল, অতএব এটি সামান্তরিক। তাই $PX=NF$।

   $\therefore NF=PX=2PQ$। (প্রমাণিত)