উচ্চতর গণিত ১ম পত্র • Dinajpur Board • দিনাজপুর বোর্ড ২০১৭

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

একটি একদিনের ম্যাচে NEWZEALAND ক্রিকেট দলে 7 জন ব্যাট্সম্যান, 6 জন বোলার এবং 2 জন উইকেট কিপার রাখা হলো।

  1. ক)

    nP3=2×nC4 { }^{n} \mathrm{P}{3}=2 \times{ }^{n} \mathrm{C}{4} হলে n \mathrm{n} -এর মান নির্ণয় কর।

    (2)
  2. খ)

    উদ্দীপক হতে কতভাবে 11 জন খেলোয়াড়ের দল গঠন করা যাবে যাতে সর্বদা 5 জন বোলার এবং কমপক্ষে একজন উইকেট কিপার থাকবে?

    (4)
  3. গ)

    স্বরবর্ণগুলোকে পাশাপাশি না রেখে NEWZEALAND শব্দের অক্ষরগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যাবে?

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে,
    nP3=2×nC4{}^n\mathrm{P}_3 = 2 \times {}^n\mathrm{C}_4
      ⟹  n!(n−3)!=2×n!4!(n−4)!\implies \frac{n!}{(n-3)!} = 2 \times \frac{n!}{4!(n-4)!}
      ⟹  1(n−3)(n−4)!=224(n−4)!\implies \frac{1}{(n-3)(n-4)!} = \frac{2}{24(n-4)!}
      ⟹  1n−3=112\implies \frac{1}{n-3} = \frac{1}{12}
      ⟹  n−3=12\implies n - 3 = 12
      ⟹  n=15\implies n = 15

    অতএব, নির্ণেয় মান n=15n = 15।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    উদ্দীপকে মোট খেলোয়াড় সংখ্যা:
    ব্যাটসম্যান = ৭ জন
    বোলার = ৬ জন
    উইকেটকিপার = ২ জন

    ১১ জনের একটি দল গঠন করতে হবে যেখানে সর্বদা ৫ জন বোলার থাকবে এবং কমপক্ষে ১ জন উইকেটকিপার থাকবে। বোলার ৬ জন থেকে ৫ জন সর্বদা নির্ধারিত থাকায় বাকি (১১ - ৫) = ৬ জন খেলোয়াড় নির্বাচন করতে হবে ব্যাটসম্যান ও উইকেটকিপারদের মধ্য থেকে।
    যেহেতু কমপক্ষে ১ জন উইকেটকিপার থাকতে হবে, তাই দল গঠনের সম্ভাব্য উপায়গুলো নিম্নরূপ:

    ১. ৫ জন বোলার, ১ জন উইকেটকিপার এবং (১১ - ৫ - ১) = ৫ জন ব্যাটসম্যান নিয়ে দল গঠনের উপায়:
    =6C5×2C1×7C5= {}^6\mathrm{C}_5 \times {}^2\mathrm{C}_1 \times {}^7\mathrm{C}_5
    =6×2×21=252= 6 \times 2 \times 21 = 252

    ২. ৫ জন বোলার, ২ জন উইকেটকিপার এবং (১১ - ৫ - ২) = ৪ জন ব্যাটসম্যান নিয়ে দল গঠনের উপায়:
    =6C5×2C2×7C4= {}^6\mathrm{C}_5 \times {}^2\mathrm{C}_2 \times {}^7\mathrm{C}_4
    =6×1×35=210= 6 \times 1 \times 35 = 210

    সুতরাং, মোট দল গঠন করা যাবে:
    =252+210=462= 252 + 210 = 462 উপায়ে।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    NEWZEALAND শব্দটিতে মোট অক্ষর সংখ্যা = ১০টি।
    এখানে স্বরবর্ণ (Vowels) = ৪টি (E, E, A, A)
    ব্যঞ্জনবর্ণ (Consonants) = ৬টি (N, W, Z, L, N, D)

    অক্ষরগুলোর মধ্যে:
    N আছে ২টি, E আছে ২টি, A আছে ২টি এবং বাকি বর্ণগুলো ১টি করে আছে।

    ১০টি অক্ষর নিয়ে মোট বিন্যাস সংখ্যা:
    =10!2!×2!×2!=36288002×2×2=453600= \frac{10!}{2! \times 2! \times 2!} = \frac{3628800}{2 \times 2 \times 2} = 453600

    এখন, স্বরবর্ণ ৪টিকে (E, E, A, A) একত্রে একটি বর্ণ বিবেচনা করলে মোট অক্ষর সংখ্যা হয়:
    =6+1=7= 6 + 1 = 7 টি (যার মধ্যে N আছে ২টি)।

    এই ৭টি বর্ণকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায়:
    =7!2!=50402=2520= \frac{7!}{2!} = \frac{5040}{2} = 2520 উপায়ে।

    আবার, ৪টি স্বরবর্ণের মধ্যে ২টি E এবং ২টি A থাকায় তাদের নিজেদের মধ্যে সাজানো যায়:
    =4!2!×2!=242×2=6= \frac{4!}{2! \times 2!} = \frac{24}{2 \times 2} = 6 উপায়ে।

    অতএব, স্বরবর্ণগুলোকে সর্বদা পাশাপাশি রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা:
    =2520×6=15120= 2520 \times 6 = 15120

    সুতরাং, স্বরবর্ণগুলোকে পাশাপাশি না রেখে নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা:
    =453600−15120=438480= 453600 - 15120 = 438480।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন