$\int x\cos^{-1}x\,dx =$ কত?

Question

Accepted Answer

ক. $\frac{x^2}{2}\cos^{-1}x - \frac{x\sqrt{1-x^2}}{4} + \frac{1}{4}\sin^{-1}x + 	ext{C}$

ব্যাখ্যা: খণ্ডাংশ যোজন (Integration by parts): $u = \cos^{-1}x$, $dv = x\,dx$ ধরলে $du = -\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$, $v = \frac{x^2}{2}$।
$$I = \frac{x^2}{2}\cos^{-1}x + \frac{1}{2}\int\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx$$
$\int\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx = \int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} - \int\sqrt{1-x^2}\,dx = \sin^{-1}x - \frac{x\sqrt{1-x^2}}{2} - \frac{1}{2}\sin^{-1}x = \frac{1}{2}\sin^{-1}x - \frac{x\sqrt{1-x^2}}{2}$
$$	herefore I = \frac{x^2}{2}\cos^{-1}x - \frac{x\sqrt{1-x^2}}{4} + \frac{1}{4}\sin^{-1}x + C$$
যা হুবহু (ক)। (খ) হলো $\sin^{-1}x = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1}x$ বসানো রূপ, কিন্তু সেখানে $\frac{x\sqrt{1-x^2}}{4}$-এর চিহ্ন ভুল।

**শর্টকাট:** অপশনকে অন্তরীকরণ করে $x\cos^{-1}x$ ফিরে আসে কিনা দেখো।

**একই ধরনের প্রশ্ন:**
১. $\int x\sin^{-1}x\,dx$ = ?
*উত্তর:* $\frac{x^2}{2}\sin^{-1}x + \frac{x\sqrt{1-x^2}}{4} - \frac{1}{4}\sin^{-1}x + C$

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন