$\int_0^4 \sqrt{4 + 2x^2}\,dx$ এর মান কত হবে?

Question

Accepted Answer

ক. $12 + \sqrt{2} \ln[2\sqrt{2} + 3]$

ব্যাখ্যা: $\sqrt{4+2x^2}=\sqrt2\sqrt{x^2+2}$। সূত্র: $\int\sqrt{x^2+a^2}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}{2}\ln\left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)$, এখানে $a^2=2$।

$x=4$ এ মান: $2\cdot3\sqrt2+\ln(4+3\sqrt2)=6\sqrt2+\ln(4+3\sqrt2)$; $x=0$ এ মান: $\ln\sqrt2$।

বিয়োগ করে: $6\sqrt2+\ln\frac{4+3\sqrt2}{\sqrt2}=6\sqrt2+\ln(2\sqrt2+3)$। $\sqrt2$ দিয়ে গুণ করলে $12+\sqrt2\ln(2\sqrt2+3)$।

**শর্টকাট:** সরাসরি বসিয়ে দেখলে $\frac{x}{2}\sqrt{\cdot}$ অংশ থেকে ধ্রুবক পদ $12$ আসে ($\sqrt2\cdot6\sqrt2$), যা ক ও গ-তে আছে; লগ অংশের ভেতর $\frac{4+3\sqrt2}{\sqrt2}$ সরল করলেই ক পাওয়া যায়।

**একই ধরনের প্রশ্ন:**
১. $\int_0^3\sqrt{x^2+16}\,dx$ এর মান কত?
*উত্তর:* $\frac{15}{2}+8\ln2$

উচ্চতর গণিত ১ম পত্র প্রশ্ন

সম্পর্কিত প্রশ্ন