গণিত প্রশ্ন

উত্তর ও ব্যাখ্যা

1. ক)

   বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r = OZ = 3$ সে.মি.

   পরিধি $= 2\pi r = 2 \times 3.1416 \times 3 = 6\pi \approx$ ১৮.৮৫ সে.মি.

2. খ)

   বিশেষ নির্বচন: $O$ বৃত্তের কেন্দ্র। $YZ$ চাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ $\angle YOZ$ এবং বৃত্তস্থ কোণ $\angle YXZ$। প্রমাণ করতে হবে $\angle YOZ = 2\angle YXZ$।

   অঙ্কন: $X, O$ যোগ করে $W$ পর্যন্ত বর্ধিত করি।

   প্রমাণ: $\triangle OXY$ এ $OX = OY$ (ব্যাসার্ধ), তাই $\angle OXY = \angle OYX$।

   বহিঃস্থ $\angle YOW = \angle OXY + \angle OYX = 2\angle OXY$ ... (i)

   একইভাবে $\triangle OXZ$ এ $\angle ZOW = 2\angle OXZ$ ... (ii)

   (i) ও (ii) যোগ করে, $\angle YOW + \angle ZOW = 2(\angle OXY + \angle OXZ)$

   বা, $\angle YOZ = 2\angle YXZ$ (প্রমাণিত)।

3. গ)

   অঙ্কন: $O, X$ যোগ করি। $OE \perp XY$ এবং $OF \perp XZ$ বলে $E$ ও $F$ যথাক্রমে $XY$ ও $XZ$ এর মধ্যবিন্দু।

   প্রমাণ: কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর ওপর লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাই $XE = \dfrac{1}{2}XY$ এবং $XF = \dfrac{1}{2}XZ$।

   যেহেতু $XY > XZ$, তাই $XE > XF$ ... (i)

   $\triangle OXE$ সমকোণী, তাই $OE^2 = OX^2 - XE^2$

   $\triangle OXF$ সমকোণী, তাই $OF^2 = OX^2 - XF^2$

   এখানে $OX$ ব্যাসার্ধ, দুই ক্ষেত্রে সমান। (i) থেকে $XE^2 > XF^2$, সুতরাং $OX^2 - XE^2 < OX^2 - XF^2$

   অর্থাৎ $OE^2 < OF^2$

   অতএব, $OE < OF$ (প্রমাণিত)।