উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Mymensingh Board • ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৫

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

f(x)=1−x+x2; ω f(x)=1-x+x^{2} ;~ \omega এককের জটিল ঘনমূল।

  1. ক)

    3+4i3−i+1 \frac{3+4 i}{3-i}+1 কে A+iB A+i B আকারে প্রকাশ কর।

    (1)
  2. খ)

    দেখাও যে, f(ω).f(ω2).f(ω4) f(\omega) . f\left(\omega^{2}\right) . f\left(\omega^{4}\right) … \dots … \dots 2n 2 n সংখ্যক পদ =22n(1+ω8)(1+ω10) =2^{2 n}\left(1+\omega^{8}\right)\left(1+\omega^{10}\right) .

    (2)
  3. গ)

    {f(−x)}n=a0+a1x+a2x2+ {f(-x)}^{n}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+ … \dots … \dots +a2πx2n +a_{2 \pi} x^{2 n} হলে প্রমাণ কর যে, a0+a3+a6+ a_{0}+a_{3}+a_{6}+ … \dots … \dots =3n−1 =3^{n-1}

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    3+4i3−i+1=3+4i+3−i3−i=6+3i3−i\frac{3+4i}{3-i} + 1 = \frac{3+4i + 3-i}{3-i} = \frac{6+3i}{3-i}
    হর ও লবকে হরের অনুবন্ধী (3+i)(3+i) দ্বারা গুণ করে পাই,
    =(6+3i)(3+i)(3−i)(3+i)=18+6i+9i+3i232−i2= \frac{(6+3i)(3+i)}{(3-i)(3+i)} = \frac{18 + 6i + 9i + 3i^2}{3^2 - i^2}
    যেহেতু i2=−1i^2 = -1,
    =18+15i−39−(−1)=15+15i10=1510+i1510=32+i32= \frac{18 + 15i - 3}{9 - (-1)} = \frac{15 + 15i}{10} = \frac{15}{10} + i\frac{15}{10} = \frac{3}{2} + i\frac{3}{2}

    যা A+iBA + iB আকারের, যেখানে A=32A = \frac{3}{2} এবং B=32B = \frac{3}{2}।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, f(x)=1−x+x2f(x) = 1 - x + x^2 এবং ω\omega হলো এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল, ফলে ω3=1\omega^3 = 1 এবং 1+ω+ω2=01 + \omega + \omega^2 = 0।

    এখন,
    f(ω)=1−ω+ω2=(1+ω2)−ω=−ω−ω=−2ωf(\omega) = 1 - \omega + \omega^2 = (1 + \omega^2) - \omega = -\omega - \omega = -2\omega
    f(ω2)=1−ω2+(ω2)2=1−ω2+ω=(1+ω)−ω2=−ω2−ω2=−2ω2f(\omega^2) = 1 - \omega^2 + (\omega^2)^2 = 1 - \omega^2 + \omega = (1 + \omega) - \omega^2 = -\omega^2 - \omega^2 = -2\omega^2

    সুতরাং,
    f(ω)⋅f(ω2)=(−2ω)(−2ω2)=4ω3=4=22f(\omega) \cdot f(\omega^2) = (-2\omega)(-2\omega^2) = 4\omega^3 = 4 = 2^2

    পরবর্তী পদসমূহ:
    f(ω4)=f(ω)=−2ωf(\omega^4) = f(\omega) = -2\omega
    f(ω8)=f(ω2)=−2ω2f(\omega^8) = f(\omega^2) = -2\omega^2 ইত্যাদিরূপে পুনরাবৃত্ত হয়।

    অতএব, 2n2n সংখ্যক পদের গুণফল:
    f(ω)⋅f(ω2)⋅f(ω4)…(2n সংখ্যক পদ)f(\omega) \cdot f(\omega^2) \cdot f(\omega^4) \dots (2n \text{ সংখ্যক পদ})
    =[f(ω)⋅f(ω2)]n=4n=22n= \left[f(\omega) \cdot f(\omega^2)\right]^n = 4^n = 2^{2n}

    আবার ডানপক্ষে,
    ω8=ω2\omega^8 = \omega^2 এবং ω10=ω\omega^{10} = \omega
    ∴(1+ω8)(1+ω10)=(1+ω2)(1+ω)=(−ω)(−ω2)=ω3=1\therefore (1+\omega^8)(1+\omega^{10}) = (1+\omega^2)(1+\omega) = (-\omega)(-\omega^2) = \omega^3 = 1

    সুতরাং,
    22n(1+ω8)(1+ω10)=22n⋅1=22n2^{2n}(1+\omega^8)(1+\omega^{10}) = 2^{2n} \cdot 1 = 2^{2n}

    অতএব,
    f(ω)⋅f(ω2)⋅f(ω4)…2n সংখ্যক পদ=22n(1+ω8)(1+ω10) (দেখানো হলো)।f(\omega) \cdot f(\omega^2) \cdot f(\omega^4) \dots 2n \text{ সংখ্যক পদ} = 2^{2n}(1+\omega^8)(1+\omega^{10}) \text{ (দেখানো হলো)।}

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দেওয়া আছে, f(x)=1−x+x2f(x) = 1 - x + x^2
    ∴f(−x)=1−(−x)+(−x)2=1+x+x2\therefore f(-x) = 1 - (-x) + (-x)^2 = 1 + x + x^2

    প্রশ্নমতে,
    {f(−x)}n=(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+a2nx2n…(1)\{f(-x)\}^n = (1 + x + x^2)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots + a_{2n} x^{2n} \quad \dots (1)
    [উল্লেখ্য, প্রশ্নে মুদ্রণজনিত কারণে a2πa_{2\pi} লেখা হয়েছে, যা মূলত a2na_{2n}]

    (1) নং সমীকরণে পর্যায়ক্রমে x=1,ω,ω2x = 1, \omega, \omega^2 বসিয়ে পাই:

    x=1x = 1 বসালে,
    (1+1+1)n=3n=a0+a1+a2+a3+a4+⋯+a2n…(2)(1 + 1 + 1)^n = 3^n = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + \dots + a_{2n} \quad \dots (2)

    x=ωx = \omega বসালে,
    (1+ω+ω2)n=0n=0=a0+a1ω+a2ω2+a3ω3+a4ω4+……(3)(1 + \omega + \omega^2)^n = 0^n = 0 = a_0 + a_1\omega + a_2\omega^2 + a_3\omega^3 + a_4\omega^4 + \dots \quad \dots (3)

    x=ω2x = \omega^2 বসালে,
    (1+ω2+ω4)n=(1+ω2+ω)n=0n=0=a0+a1ω2+a2ω4+a3ω6+a4ω8+……(4)(1 + \omega^2 + \omega^4)^n = (1 + \omega^2 + \omega)^n = 0^n = 0 = a_0 + a_1\omega^2 + a_2\omega^4 + a_3\omega^6 + a_4\omega^8 + \dots \quad \dots (4)

    এখন, (2), (3) ও (4) যোগ করে পাই:
    3n+0+0=a0(1+1+1)+a1(1+ω+ω2)+a2(1+ω2+ω)+a3(1+ω3+ω6)+…3^n + 0 + 0 = a_0(1+1+1) + a_1(1+\omega+\omega^2) + a_2(1+\omega^2+\omega) + a_3(1+\omega^3+\omega^6) + \dots
    যেহেতু 1+ω+ω2=01 + \omega + \omega^2 = 0 এবং 1+ω3+ω6=1+1+1=31 + \omega^3 + \omega^6 = 1 + 1 + 1 = 3, তাই ৩-এর গুণিতক পদের সহগসমূহ থাকবে এবং বাকিগুলো শূন্য হয়ে যাবে।
    3n=3a0+0+0+3a3+0+0+3a6+…3^n = 3a_0 + 0 + 0 + 3a_3 + 0 + 0 + 3a_6 + \dots
    3n=3(a0+a3+a6+… )3^n = 3(a_0 + a_3 + a_6 + \dots)
    ∴a0+a3+a6+⋯=3n3=3n−1\therefore a_0 + a_3 + a_6 + \dots = \frac{3^n}{3} = 3^{n-1} (প্রমাণিত)।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন