উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Sylhet Board • সিলেট বোর্ড ২০১৯

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১: আনুভূমিকের সাথে α \alpha কোণে নিক্ষিপ্ত একটি বস্ত নিক্ষেপণ বিন্দু হতে যথাক্রমে q q ও p p দূরত্বে অবস্থিত p p ও q q উচ্চতাবিশিষ্ট দুইটি দেয়াল কোনো রকমে অতিক্রম করে।

  1. ক)

    দেখাও যে, সমমানরে দুইটি একবিন্দুগামী বেগের লব্ধি এদের অন্তর্গত কোণকে সমান দুইভাগে বিভক্ত করে।

    (2)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ এ বর্ণিত বস্তুটির আনুভূমিক পাল্পা R হলে, দেখাও যে, R(p+q)=p2+pq+q2 R(p+q)=p^{2}+p q+q^{2} .

    (4)
  3. গ)

    একখানা রেলগাড়ি A স্টেশন হতে ছেড়ে D স্টেশনে গিয়ে থামে । গাড়িখানা AB অংশ সমত্বরণে, CD অংশ সমমন্দনে এবং BC অংশ সমবেগে চলে । প্রমাণ কর যে, উহার গড়বেগ ও সর্বোচ্চ বেগের অনুপাত 1:(1+1m+1n) 1:\left(1+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right)

    (4)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, কোনো বিন্দুতে α\alpha কোণে ক্রিয়ারত সমমানের দুইটি বেগ uu ও uu। এদের লব্ধি ww বেগের একটির সাথে θ\theta কোণ উৎপন্ন করে।

    আমরা জানি,
    tan⁡θ=usin⁡αu+ucos⁡α=usin⁡αu(1+cos⁡α)=sin⁡α1+cos⁡α\tan\theta = \frac{u \sin\alpha}{u + u \cos\alpha} = \frac{u \sin\alpha}{u(1 + \cos\alpha)} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}
    =2sin⁡(α/2)cos⁡(α/2)2cos⁡2(α/2)=sin⁡(α/2)cos⁡(α/2)=tan⁡(α2)= \frac{2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)}{2\cos^2(\alpha/2)} = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} = \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)

    ∴θ=α2\therefore \theta = \frac{\alpha}{2}

    অতএব, লব্ধি বেগ এদের অন্তর্গত কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত বা সমান দুইভাগে বিভক্ত করে। (দেখানো হলো)

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    আনুভূমিকের সাথে α\alpha কোণে নিক্ষিপ্ত প্রাসের গতিপথের সমীকরণ:
    y=xtan⁡α(1−xR)y = x \tan\alpha \left(1 - \frac{x}{R}\right)

    শর্তানুসারে, বস্তুটি (q,p)(q, p) এবং (p,q)(p, q) বিন্দুগামী।
    প্রথম ক্ষেত্রে, (x,y)=(q,p)(x, y) = (q, p) বসিয়ে পাই,
    p=qtan⁡α(1−qR)  ⟹  pq=tan⁡α⋅R−qR⋯(1)p = q \tan\alpha \left(1 - \frac{q}{R}\right) \implies \frac{p}{q} = \tan\alpha \cdot \frac{R - q}{R} \quad \cdots (1)

    দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, (x,y)=(p,q)(x, y) = (p, q) বসিয়ে পাই,
    q=ptan⁡α(1−pR)  ⟹  qp=tan⁡α⋅R−pR⋯(2)q = p \tan\alpha \left(1 - \frac{p}{R}\right) \implies \frac{q}{p} = \tan\alpha \cdot \frac{R - p}{R} \quad \cdots (2)

    সমীকরণ (1)-কে সমীকরণ (2) দ্বারা ভাগ করে পাই,
    p/qq/p=R−qRR−pR\frac{p/q}{q/p} = \frac{\frac{R - q}{R}}{\frac{R - p}{R}}
      ⟹  p2q2=R−qR−p\implies \frac{p^2}{q^2} = \frac{R - q}{R - p}
      ⟹  p2(R−p)=q2(R−q)\implies p^2(R - p) = q^2(R - q)
      ⟹  p2R−p3=q2R−q3\implies p^2 R - p^3 = q^2 R - q^3
      ⟹  p2R−q2R=p3−q3\implies p^2 R - q^2 R = p^3 - q^3
      ⟹  R(p2−q2)=p3−q3\implies R(p^2 - q^2) = p^3 - q^3
      ⟹  R(p−q)(p+q)=(p−q)(p2+pq+q2)\implies R(p - q)(p + q) = (p - q)(p^2 + pq + q^2)

    যেহেতু p≠qp \neq q, তাই উভয়পক্ষকে (p−q)(p - q) দ্বারা ভাগ করে পাই,
    R(p+q)=p2+pq+q2R(p + q) = p^2 + pq + q^2
    (দেখানো হলো)

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    ধরি, মোট দূরত্ব AD=sAD = s।
    উদ্দীপক অনুসারে,
    AB=s1=smAB = s_1 = \frac{s}{m}
    CD=s3=snCD = s_3 = \frac{s}{n}
    তাহলে, সমবেগে অতিক্রান্ত দূরত্ব:
    BC=s2=s−(s1+s3)=s−(sm+sn)=s(1−1m−1n)BC = s_2 = s - (s_1 + s_3) = s - \left(\frac{s}{m} + \frac{s}{n}\right) = s\left(1 - \frac{1}{m} - \frac{1}{n}\right)

    ধরি, গাড়িখানার সর্বোচ্চ বেগ vv।
    গাড়িটি স্থিরাবস্থা থেকে যাত্রা করে AB অংশে সমত্বরণে চলে vv বেগ অর্জন করে।
    ধরি, এই অংশে সময় লাগে t1t_1।
    আমরা জানি, গড়বেগ 0+v2=v2\frac{0 + v}{2} = \frac{v}{2}
    ∴s1=v2t1  ⟹  t1=2s1v=2smv\therefore s_1 = \frac{v}{2} t_1 \implies t_1 = \frac{2 s_1}{v} = \frac{2s}{m v}

    BC অংশ সমবেগ vv-তে অতিক্রম করতে সময় t2t_2 লাগলে,
    s2=vt2  ⟹  t2=s2v=sv(1−1m−1n)s_2 = v t_2 \implies t_2 = \frac{s_2}{v} = \frac{s}{v}\left(1 - \frac{1}{m} - \frac{1}{n}\right)

    CD অংশে সমমন্দনে চলে গাড়িটি থেমে যায় (শেষ বেগ 00)।
    ধরি, এই অংশে সময় লাগে t3t_3।
    ∴s3=v+02t3=v2t3  ⟹  t3=2s3v=2snv\therefore s_3 = \frac{v + 0}{2} t_3 = \frac{v}{2} t_3 \implies t_3 = \frac{2 s_3}{v} = \frac{2s}{n v}

    অতএব, সমগ্র যাত্রায় মোট সময়:
    T=t1+t2+t3=2smv+sv(1−1m−1n)+2snvT = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{2s}{m v} + \frac{s}{v}\left(1 - \frac{1}{m} - \frac{1}{n}\right) + \frac{2s}{n v}
    =sv[2m+1−1m−1n+2n]=sv(1+1m+1n)= \frac{s}{v} \left[\frac{2}{m} + 1 - \frac{1}{m} - \frac{1}{n} + \frac{2}{n}\right] = \frac{s}{v} \left(1 + \frac{1}{m} + \frac{1}{n}\right)

    সুতরাং, গাড়িটির গড়বেগ:
    vavg=মোট দূরত্বমোট সময়=sT=ssv(1+1m+1n)=v1+1m+1nv_{\text{avg}} = \frac{\text{মোট দূরত্ব}}{\text{মোট সময়}} = \frac{s}{T} = \frac{s}{\frac{s}{v} \left(1 + \frac{1}{m} + \frac{1}{n}\right)} = \frac{v}{1 + \frac{1}{m} + \frac{1}{n}}

    অতএব, গড়বেগ ও সর্বোচ্চ বেগের অনুপাত:
    vavgv=11+1m+1n\frac{v_{\text{avg}}}{v} = \frac{1}{1 + \frac{1}{m} + \frac{1}{n}}
      ⟹  vavg:v=1:(1+1m+1n)\implies v_{\text{avg}} : v = 1 : \left(1 + \frac{1}{m} + \frac{1}{n}\right)
    (প্রমাণিত)

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন