উচ্চতর গণিত ২য় পত্র • Chattogram Board • চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২১

উচ্চতর গণিত ২য় পত্র প্রশ্ন

দৃশ্যকল্প-১:দৃশ্যকল্প-২:

  1. ক)

    বলের লম্বাংশের উপপাদ্যটি লিখ।

    (1)
  2. খ)

    দৃশ্যকল্প-১ হতে, প্রমাণ কর যে, R2 = Q(Q–p)

    (2)
  3. গ)

    দৃশ্যকশ-২ এ ত্রিভুজ ABC সমবাহু হলে বলগুলোর লব্ধির মান ও দিক নির্ণয় কর।

    (3)

উত্তর ও ব্যাখ্যা

  1. ক)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    বলের লম্বাংশের উপপাদ্য:
    কোনো বিন্দুতে একই সময়ে ক্রিয়ারত যেকোনো সংখ্যক সমতলীয় বলের কোনো নির্দিষ্ট সরলরেখা বরাবর লম্বাংশগুলোর বীজগাণিতিক যোগফল, বলগুলোর লব্ধির উক্ত নির্দিষ্ট সরলরেখা বরাবর লম্বাংশের সমান।

  2. খ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-১ থেকে পাই,
    O বিন্দুতে ক্রিয়ারত তিনটি বল P, Q এবং R সাম্যাবস্থায় রয়েছে।
    এখানে,
    ∠XOY = 2α
    ∠XOZ = α
    ∴ ∠YOZ = 360° - (2α + α) = 360° - 3α

    লামির উপপাদ্য প্রয়োগ করে পাই,
    Psin⁡(∠YOZ)=Qsin⁡(∠XOZ)=Rsin⁡(∠XOY)\frac{P}{\sin(\angle YOZ)} = \frac{Q}{\sin(\angle XOZ)} = \frac{R}{\sin(\angle XOY)}
    ⇒Psin⁡(360∘−3α)=Qsin⁡α=Rsin⁡2α\Rightarrow \frac{P}{\sin(360^\circ - 3\alpha)} = \frac{Q}{\sin \alpha} = \frac{R}{\sin 2\alpha}
    ⇒P−sin⁡3α=Qsin⁡α=Rsin⁡2α\Rightarrow \frac{P}{-\sin 3\alpha} = \frac{Q}{\sin \alpha} = \frac{R}{\sin 2\alpha}
    [যেহেতু বলগুলোর দিক চিত্রানুযায়ী বিপরীতমুখী ভারসাম্যে রয়েছে, মানের ক্ষেত্রে: Psin⁡3α=Qsin⁡α=Rsin⁡2α\frac{P}{\sin 3\alpha} = \frac{Q}{\sin \alpha} = \frac{R}{\sin 2\alpha}]

    প্রথম দুটি অনুপাত থেকে:
    Psin⁡3α=Qsin⁡α\frac{P}{\sin 3\alpha} = \frac{Q}{\sin \alpha}
    ⇒P=Q⋅sin⁡3αsin⁡α=Q⋅3sin⁡α−4sin⁡3αsin⁡α=Q(3−4sin⁡2α)\Rightarrow P = Q \cdot \frac{\sin 3\alpha}{\sin \alpha} = Q \cdot \frac{3\sin \alpha - 4\sin^3 \alpha}{\sin \alpha} = Q(3 - 4\sin^2 \alpha)
    ⇒PQ=3−4sin⁡2α\Rightarrow \frac{P}{Q} = 3 - 4\sin^2 \alpha
    ⇒4sin⁡2α=3−PQ=3Q−PQ\Rightarrow 4\sin^2 \alpha = 3 - \frac{P}{Q} = \frac{3Q - P}{Q}
    ⇒4(1−cos⁡2α)=3Q−PQ\Rightarrow 4(1 - \cos^2 \alpha) = \frac{3Q - P}{Q}
    ⇒4cos⁡2α=4−3Q−PQ=4Q−3Q+PQ=Q+PQ\Rightarrow 4\cos^2 \alpha = 4 - \frac{3Q - P}{Q} = \frac{4Q - 3Q + P}{Q} = \frac{Q + P}{Q}
    ⇒cos⁡2α=Q+P4Q\Rightarrow \cos^2 \alpha = \frac{Q + P}{4Q}

    আবার, শেষ দুটি অনুপাত থেকে:
    Rsin⁡2α=Qsin⁡α\frac{R}{\sin 2\alpha} = \frac{Q}{\sin \alpha}
    ⇒R=Q⋅2sin⁡αcos⁡αsin⁡α=2Qcos⁡α\Rightarrow R = \frac{Q \cdot 2\sin \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha} = 2Q \cos \alpha
    ⇒R2=4Q2cos⁡2α\Rightarrow R^2 = 4Q^2 \cos^2 \alpha

    এখন cos⁡2α\cos^2 \alpha-এর মান বসিয়ে পাই:
    R2=4Q2⋅Q+P4Q=Q(Q+P)R^2 = 4Q^2 \cdot \frac{Q + P}{4Q} = Q(Q + P)
    [যদি প্রথম অনুপাত অনুযায়ী ঋণাত্মক চিহ্ন বিবেচনা করা হয় অথবা P/sin⁡(3α−360∘)P/\sin(3\alpha - 360^\circ) নেওয়া হয়, তবে R2=Q(Q−P)R^2 = Q(Q - P) পাওয়া যায়।]
    অর্থাৎ,
    P−sin⁡3α=Qsin⁡α\frac{P}{-\sin 3\alpha} = \frac{Q}{\sin \alpha}
    ⇒P=−Q(3−4sin⁡2α)=Q(4sin⁡2α−3)\Rightarrow P = -Q(3 - 4\sin^2 \alpha) = Q(4\sin^2 \alpha - 3)
    ⇒PQ+3=4sin⁡2α\Rightarrow \frac{P}{Q} + 3 = 4\sin^2 \alpha
    ⇒4(1−cos⁡2α)=P+3QQ\Rightarrow 4(1 - \cos^2 \alpha) = \frac{P + 3Q}{Q}
    ⇒4cos⁡2α=4−P+3QQ=Q−PQ\Rightarrow 4\cos^2 \alpha = 4 - \frac{P + 3Q}{Q} = \frac{Q - P}{Q}

    অতএব,
    R2=4Q2cos⁡2α=4Q2⋅Q−P4Q=Q(Q−P)R^2 = 4Q^2 \cos^2 \alpha = 4Q^2 \cdot \frac{Q - P}{4Q} = Q(Q - P) (প্রমাণিত)।

  3. গ)

    AI-তৈরি নমুনা উত্তর

    দৃশ্যকল্প-২ এ, △ABC\triangle ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। এর কোণগুলো 60∘60^\circ।
    চিত্রানুযায়ী বলত্রয় হলো:

    • BCBC বাহু বরাবর (P−Q)(P - Q) মানের বল (BB থেকে CC অভিমুখী)
    • CACA বাহু বরাবর PP মানের বল (CC থেকে AA অভিমুখী)
    • BABA বাহু বরাবর (P+Q)(P + Q) মানের বল (BB থেকে AA অভিমুখী)

    ধরি, BCBC রেখাকে X-অক্ষ এবং এর লম্ব রেখাকে Y-অক্ষ বিবেচনা করি।
    তাহলে বলগুলোর দিক নিম্নরূপ:
    ১. (P−Q)(P - Q) বলটি BCBC বরাবর অর্থাৎ 0∘0^\circ কোণে ক্রিয়ারত।
    ২. PP বলটি CACA বরাবর, যা BCBC এর ধনাত্মক দিকের সাথে (180∘−60∘)=120∘(180^\circ - 60^\circ) = 120^\circ কোণে ক্রিয়ারত।
    ৩. (P+Q)(P + Q) বলটি BABA বরাবর, যা BCBC এর সাথে 60∘60^\circ কোণে ক্রিয়ারত।

    বলগুলোর লব্ধি FF এবং তা BCBC বাহুর সাথে θ\theta কোণ উৎপন্ন করলে,
    X-অক্ষ বরাবর লম্বাংশ নিয়ে পাই:
    X=(P−Q)cos⁡0∘+Pcos⁡120∘+(P+Q)cos⁡60∘X = (P - Q)\cos 0^\circ + P\cos 120^\circ + (P + Q)\cos 60^\circ
    =(P−Q)(1)+P(−12)+(P+Q)(12)= (P - Q)(1) + P\left(-\frac{1}{2}\right) + (P + Q)\left(\frac{1}{2}\right)
    =P−Q−P2+P2+Q2= P - Q - \frac{P}{2} + \frac{P}{2} + \frac{Q}{2}
    =P−Q2= P - \frac{Q}{2}

    Y-অক্ষ বরাবর লম্বাংশ নিয়ে পাই:
    Y=(P−Q)sin⁡0∘+Psin⁡120∘+(P+Q)sin⁡60∘Y = (P - Q)\sin 0^\circ + P\sin 120^\circ + (P + Q)\sin 60^\circ
    =0+P(32)+(P+Q)(32)= 0 + P\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + (P + Q)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)
    =32(P+P+Q)=32(2P+Q)= \frac{\sqrt{3}}{2}(P + P + Q) = \frac{\sqrt{3}}{2}(2P + Q)

    অতএব, লব্ধির মান:
    F=X2+Y2F = \sqrt{X^2 + Y^2}
    =(P−Q2)2+(32(2P+Q))2= \sqrt{\left(P - \frac{Q}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}(2P + Q)\right)^2}
    =P2−PQ+Q24+34(4P2+4PQ+Q2)= \sqrt{P^2 - PQ + \frac{Q^2}{4} + \frac{3}{4}(4P^2 + 4PQ + Q^2)}
    =P2−PQ+Q24+3P2+3PQ+3Q24= \sqrt{P^2 - PQ + \frac{Q^2}{4} + 3P^2 + 3PQ + \frac{3Q^2}{4}}
    =4P2+2PQ+Q2= \sqrt{4P^2 + 2PQ + Q^2}

    লব্ধির দিক:
    tan⁡θ=YX=32(2P+Q)P−Q2=3(2P+Q)2P−Q\tan \theta = \frac{Y}{X} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}(2P + Q)}{P - \frac{Q}{2}} = \frac{\sqrt{3}(2P + Q)}{2P - Q}
    θ=tan⁡−1(3(2P+Q)2P−Q)\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}(2P + Q)}{2P - Q}\right)
    লব্ধি BCBC বাহুর সাথে tan⁡−1(3(2P+Q)2P−Q)\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}(2P + Q)}{2P - Q}\right) কোণ তৈরি করে।

আরও প্রশ্ন অনুশীলন করতে অ্যাপে যাও

অ্যাপ ডাউনলোড করোওয়েবে খুলো

সম্পর্কিত প্রশ্ন